2. Поворот осей координат

Пусть на плоскости заданы две системы координат, имеющие общее начало О: система Оху (старая) и система OXY (новая), которая получена поворотом старой системы на угол а. Это значит, что угол (рис. 34) и, следовательно, угол .

Рис. 34

Найдем формулы, выражающие старые координаты х и у произвольной точки М плоскости через ее новые координаты X и Y.

Введем полярные координаты: старые — с полярной осью, совпадающей с осью и новые — с полярной осью, совпадающей с осью ОХ. Пусть точка М в новой полярной системе имеет полярный угол и полярный радиус . В старой полярной системе полярный угол точки М будет равен полярный радиус будет таким же, как и в новой системе.

Поэтому по формулам (7) будем иметь:

Используя тригонометрические тождества для косинуса и синуса суммы двух углов, получим:

Но , поэтому

Формулы (19) называются формулами поворота осей.

Пример. Выразить старые координаты точки х и у через ее новые координаты X и Y при повороте осей на угол .

Решение. Так как по формулам (19) получим: