Главная > Математика > Краткий курс высшей математики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

1. Скалярные и векторные величины

При изучении различных разделов физики, механики и технических наук нам встречаются величины, которые полностью определяются заданием их численных значений. Такие величины называются скалярными. Скалярными величинами, например, являются длина, площадь, объем, масса, температура тела и др. Помимо скалярных величин, в различных задачах встречаются величины, для определения которых, кроме численного значения, необходимо знать также их направление в пространстве. Такие величины называются векторными.

Примерами таких величин являются сила, действующая на тело, скорость и ускорение тела при его движении в пространстве, напряжение магнитного поля в данной точке пространства и т. д.

Векторные величины изображаются с помощью векторов. Вектором называется направленный отрезок в пространстве, имеющий определенную длину, т. е. отрезок определенной длины, у которого одна из ограничивающих его точек принимается за начало, а вторая за конец. Если А — начало вектора и В — его конец, то вектор обозначается символом АВ. Вектор будем также обозначать и одной буквой жирного шрифта а, а в письме — одной буквой с черточкой наверху а.

Рис. 56

Рис. 57

Рис. 58

На рисунке вектор изображается отрезком, снабженным у конца стрелкой (рис. 56).

Длина вектора АВ называется его модулем и обозначается символом АВ или АВ. Если вектор обозначен через а, то его модуль обозначается или а.

Рассматривают также вектор, у которого конец совпадает с началом. Такой вектор-точку называют нуль-вектором и обозначают символом 0. Нуль-вектор не имеет определенного направления, модуль его равен нулю, т. е.

Векторы а и b, расположенные на одной прямой или парал лельных прямых, называются коллинеарными.

Дадим теперь определение равенства двух векторов.

Два вектора а и b называются равными, если они: 1) имеют равные модули; 2) коллинеарны; 3) направлены в одну сторону.

В этом случае пишут

Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, помещая его начало в любую точку пространства.

Пример 1. Рассмотрим квадрат ABCD (рис. 57). На основании определения равенства векторов можем написать

Пример 2. Рассмотрим материальную точку, движущуюся с угловой скоростью со по окружности радиуса R (рис. 58). Скорость материальной точки в любой момент времени является вектором, касательным к траектории движения точки и имеющим длину, равную

Так как направление вектора скорости в разных точках траектории различно, то хотя

Для каждого вектора а (отличного от нуль-вектора) существует противоположный вектор, обозначаемый —а. Вектор —а имеет модуль, равный модулю вектора а, коллинеарен с ним, но направлен в противоположную сторону.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление