2. Производная по направлению

Пусть задана дифференцируемая функция скалярного поля . Рассмотрим точку этого поля и луч выходящий из точки Р в направлении единичного вектора

где — углы вектора 1 с осями координат.

Пусть какая-нибудь другая точка этого луча. Разность значений функции и скалярного поля в точках назовем приращением этой функции в направлении l и обозначим через . Тогда

Обозначим также через расстояние между точками Р и

Определение. Производной функции по направлению l называется предел

Производная функции и по направлению l обозначается символом. Таким образом,

Заметим, что если производная функции и в точке по данному направлению l положительна, , то функция и в этом направлении возрастает, если же , то функция и в направлении убывает.

Можно сказать, что производная по направлению додает скорость изменения функции и в этом направлении.

Рис. 222

Выведем формулу для вычисления производной по направлению. Прежде всего заметим, что приращения координат точки Р связаны с длиной отрезка и направляющими косинусами вектора I следующими соотношениями (рис. 222):

Так как функция и по условию дифференцируема, то ее приращение в точке можно представить в следующем виде:

причем со стремится к нулю быстрее, чем т. е. (см. § 4, п. 2, формула (19)).

Если рассматривать приращение функции вдоль луча в направлении вектора !, то выражаются по формулам (38). Формула (39), следовательно, примет следующий вид:

Разделив обе части этого равенства на и переходя к пределу при получим

Но и направляющие косинусы не зависят от и так как то

Из формулы (40) следует, что если вектор 1 совпадает с одним из ортов i, j или к, то производная и по направлению l совпадает с соответствующей частной производной этой функции. Так, например, если , то и, следовательно,

Пример 1. Найти производную функции в точке по направлению, идущему от точки к точке

Решение. Находим вектор и соответствующий ему единичный вектор

Таким образом, вектор 1 имеет следующие направляющие косинусы:

Теперь найдем частные производные функции

и их значения в точке :

Подставляя в формулу (40) найденные значения частных производных и направляющих косинусов, получим искомую производную:

Если скалярное поле — плоское, то функция поля , как уже было сказано, зависит от двух переменных: . Вектор 1 в этом случае лежит в плоскости и, следовательно, или так как (рис. 223). Формула (40) для производной по направлению в случае плоского скалярного поля имеет следующий вид:

Рис. 223

Пример 2. Найти производную от функции в точке принадлежащей параболе по направлению касательной к этой параболе.

Решение. Находим частные производные от функции :

и их значения в точке

Для того чтобы найти , входящие в формулу (41), находим угловой коэффициент касательной в точке

Таким образом, откуда получим два значения , которые соответствуют двум взаимно противоположным направлениям касательной.

Следовательно, по формуле (41)

При аналогично получим