4. Механический смысл первой и второй производных векторной функции скалярного аргумента

Выясним механический смысл первой производной вектор-функции. Пусть материальная точка движется по кривой, описываемой концом вектора-функции (т. е. по годографу вектора ), причем параметр t означает время движения.

Скоростью движения материальной точки в момент t называется вектор, направленный по касательной к траектории в сторону движения и равный по модулю , где - путь, пройденный точкой за промежуток времени начиная с момента

Покажем, что производная радиуса-вектора движущейся точки равна скорости движения этой точки.

В п. 3 было установлено, что вектор направлен по касательной к годографу вектора . При этом вектор а следовательно, и вектор направлен в сторону движения точки (см. рис. 142). Таким образом, вектор имеет одинаковое направление с вектором скорости v. Покажем, что модули этих векторов также одинаковы. Действительно, обозначив через длину дуги (т. е. путь, пройденный точкой за время получим

где - длина хорды - длина соответствующей дуги . В дальнейшем (см. гл. VIII, § 3, п. 6) будет показано, что предел отношения длины дуги к длине стягивающей ее хорды равен единице:

Но тогда и, следовательно,

Так как по определению скорости а, с другой стороны , то

Таким образом, векторы имеют одинаковое направление и равные модули. Поэтому

(87)

Итак, производная вектор-функции равна скорости движения материальной точки в данный момент времени .

В этом заключается механический смысл первой производной вектор-функции скалярного аргумента. Производная вектор-функции есть, в свою очередь, вектор-функция скалярного аргумента t, которую, вообще говоря, также можно дифференцировать.

Производная по скалярному аргументу от называется второй производной вектор-функции и обозначается символом или

Рис. 143

Итак,

Мы видели, что Следовательно,

Вектор равный производной скорости по времени называется ускорением.

Таким образом, вторая производная вектор-функции равна ускорению движения материальной точки в данный момент времени

В этом заключается механический смысл второй производной вектор-функции скалярного аргумента.

Пример. Найти скорость и ускорение материальной точки М, движущейся с постоянной угловой скоростью со по окружности (рис. 143).

Решение. Обозначив через угол радиуса-вектора точки М с осью получим по условию или где -время движения.

Это позволяет координаты точки М выразить как функции времени

Следовательно, радиус-вектор точки М

Теперь легко находим скорость точки М:

Найдем модуль скорости:

Легко убедиться непосредственно, что скалярное произведение векторов равно нулю и, следовательно, векторы взаимно перпендикулярны. Отсюда следует, что вектор v направлен по касательной к окружности, по которой движется точка М (см. рис. 143). Найдем теперь ускорение

Так как

Отсюда следует, что векторы имеют противоположные направления.

Таким образом, ускорение материальной точки, движущейся с постоянной угловой скоростью по окружности, в каждый момент времени направлено к центру этой окружности (см. рис. 143).