Теперь перейдем к рассмотрению предела функции при . Так как предел знаменателя дроби равен нулю, то теорема о пределе дроби здесь не применима.
Для разыскания предела функции рассмотрим рис. 111.
Из рисунка непосредственно видно:
Поставим найденные выражения для площадей в неравенства (15):
Неравенства (16) справедливы для всех значений я, заключенных между нулем и у. Разделив все члены этих неравенств на , получим
или
Неравенства (17) были выведены в предположении, что Но они верны и при , так как .
Выше мы видели, что . Применив к частному теорему о пределе дроби, получим .
Обе крайние функции - неравенств (17) при имеют одинаковый предел, равный единице.
Но тогда функция заключенная между функциями согласно теореме 6, п. 6, имеет тот же предел при
С помощью этого предела находятся многие другие пределы. Приведем примеры.
Пример 1. Найти .
Решение. Числитель и знаменатель дроби одновременно стремятся к нулю. Теорема о пределе дроби здесь неприменима. Для нахождения предела преобразуем нашу дробь:
Пример 2. Найти
Решение,