4. Ряды Фурье для четных и нечетных функций

В некоторых случаях формулы (124) для вычисления коэффициентов Фурье могут быть упрощены. Это имеет место для четных и нечетных функций (см. гл. I, § 4, п. 8).

Приведем несколько очевидных свойств четных и нечетных функций.

I. Произведение четной функции на четную или нечетной на нечетную есть функция четная.

Пусть, например, — четные функции. Докажем, что функция также четная.

Так как - функции четные, то

отсюда

т. е. - функция четная. Аналогично доказывается и вторая часть утверждения I.

II. Произведение четной функции на нечетную есть функция нечетная.

Это свойство доказывается так же, как и свойство I.

III. Если — четная функция, то

На основании свойства аддитивности определенного интеграла можем написать

В первом интеграле сделаем замену переменной. Положим тогда при при . Поэтому

Следовательно,

так как определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования.

IV. Если - нечетная функция, то

Доказательство проводится аналогично доказательству. свойства III.

Допустим теперь, что нужно разложить в ряд Фурье четцую функцию . Так как — функция четная, а - функция нечетная, то произведение будет функцией четной, а - функцией нечетной (свойства I и II). На основании свойств III и IV получим

Соответственно этому ряд Фурье для четной функции будет иметь вид

Если требуется разложить в ряд Фурье нечетную функцию, то вследствие свойств I и II произведение будет функцией нечетной, a - функцией четной. Поэтому

Ряд Фурье для нечетной функции будет иметь вид

Таким образом, четная функция разлагается в ряд только по косинусам, а нечетная функция — только по синусам кратных дуг.

Рассмотрим примеры разложения в ряд Фурье четных и нечетных функций. В предыдущем пункте мы нашли ряд Фурье для функции (см. пример).

Рис. 265

Эта функция нечетная. Поэтому коэффициенты должны обратиться в нуль согласно формулам (132). В рассмотренном примере мы убедились в этом непосредственным вычислением коэффициентов.

Пример. Разложить в ряд Фурье функцию периода заданную на интервале формулой (рис. 265).

Решение. Функция f(x) - четная, поэтому коэффициенты ряда определяются по формулам (130):

Таким образом,

Ряд Фурье, соответствующий функции имеет вид

Данная функция удовлетворяет условиям теоремы Дирихле, следовательно, ряд сходится на всей числовой оси и имеет своей суммой функцию