5. Линейные уравнения

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если его можно записать в виде

где — заданные функции.

Таким образом, искомая функция у и ее производная входят в линейное уравнение в первой степени.

Если в частном случае , то уравнение (20) называется линейным уравнением без свободного члена или линейным однородным уравнением.

Например, уравнения будут линейными уравнениями. Уравнение же не будет линейным.

Уравнение (20) интегрируется следующим образом. Рассмотрим соответствующее уравнение без свободного члена

В этом уравнении переменные разделяются, и его общее решение находится сразу.

Из (21) получаем:

Отсюда, потенцируя, находим общее решение уравнения (21):

Для нахождения общего решения уравнения (20) применим так называемый метод вариации произвольной постоянной. Этот метод заключается в следующем. Общее решение уравнения со свободным членом (20) будем искать по формуле (22), заменяя в ней произвольную постоянную С некоторой дифференцируемой функцией

Для того чтобы функция (23) была решением уравнения (20), нужно, чтобы она удовлетворяла этому уравнению.

Находим производную

Подставляя выражения для в уравнение (20), находим соотношение для определения функции

Отсюда

Интегрируя, находим

Подставляя найденное выражение в формулу (23), получаем общее решение линейного уравнения (20)

Пример 1. Найти общее решение уравнения

и выделить из него частное решение, удовлетворяющее начальному условию

Решение. При интегрировании этого уравнения не будем пользоваться готовой формулой (23), а проделаем все вычисления вновь. Рассмотрим сначала соответствующее уравнение без свободного члена . В этом уравнении переменные разделяются: Интегрируя, находим

В полученном общем решении линейного уравнения без свободного члена заменяем постоянную С функцией получаем

Дифференцируя, находим . Подставляем в данное уравнение выражения для :

или

Отсюда и общее решение данного уравнения имеет вид

или

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию

Следовательно, и частное решение запишется в виде

Вернемся теперь к задаче 2, рассмотренной в п. 1. Выведенное там уравнение имело вид

Полученное уравнение является линейным и интегрируется указанным выше способом. Сначала рассматриваем уравнение без свободного члена . Находим его общее решение, разделяя переменные и интегрируя:

Заменяем теперь постоянную С на функцию и ищем решение данного уравнения (24) в виде Находим у и подставляем в уравнение (24):

откуда

Интегрируя, получим

и окончательно находим общее решение или