§ 3. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ

1. Частные производные первого порядка

Рассмотрим функцию двух переменных . Зафиксируем один из ее аргументов, например у, положив Тогда функция будет функцией одной переменной Пусть она имеет производную в точке

Эта производная называется частной производной (или частной производной первого порядка) функции по в точке и обозначается символом

Разность называется частным приращением по функции в точке и обозначается символом

Учитывая эти обозначения, можно записать

Аналогично определяются и обозначаются частное приращение функции по у и частная производная по у в точке

Таким образом, частная производная функции двух переменных по одному из ее аргументов равна пределу отношения частного приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Значение частной производной зависит от точки в которой она вычисляется. Поэтому частная производная функции двух переменных вообще говоря, есть функция точки , т. е. также является функцией двух переменных х и у.

Частные производные, рассматриваемые как функции двух переменных, обозначаются следующим образом:

Частные приращения и частные производные функции переменных при определяются и обозначаются аналогично. Например, для функции трех переменных и частное приращение по в точке получится, если получит приращение , а остальные аргументы останутся неизменными:

Частная производная функции по аргументу в точке равна

Таким образом, частная производная функции нескольких переменных определяется как производная функции одной из этих переменных. Вследствие этого все правила и формулы дифференцирования, выведенные для производных функции одной переменной, сохраняются для частных производных функции нескольких переменных. Следует лишь помнить, что во всех этих правилах и формулах при нахождении частной производной по какому-либо аргументу все остальные аргументы считаются постоянными.

Пример 1. Найти частные производные функции

Решение. Частную производную находим как производную функции по аргументу в предположении, что . Поэтому

Аналогично

Пример Найти .

Решение. Находим сначала частную производную функции по

Теперь вычислим частное значение найденной частной производной при

Пример 3. Пусть на оси расположен стержень. Температура 0 в произвольной точке стержня является функцией координаты точки и времени При функция представляет изменение температуры в данной точке стержня в зависимости от времени t. Частная производная в этой точке дает скорость изменения температуры со временем. Если теперь положить то функция дает закон распределения температуры вдоль стержня в данный момент времени В этом случае частная производная представляет собой скорость изменения температуры вдоль стержня в данный момент времени