Аналогично определяются и обозначаются частное приращение функции
по у и частная производная по у в точке 

Таким образом, частная производная функции двух переменных по одному из ее аргументов равна пределу отношения частного приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.
Значение частной производной зависит от точки
в которой она вычисляется. Поэтому частная производная функции двух переменных
вообще говоря, есть функция точки
, т. е. также является функцией двух переменных х и у.
Частные производные, рассматриваемые как функции двух переменных, обозначаются следующим образом:

Частные приращения и частные производные функции
переменных при
определяются и обозначаются аналогично. Например, для функции трех переменных и
частное приращение по
в точке
получится, если
получит приращение
, а остальные аргументы останутся неизменными:

Частная производная функции
по аргументу
в точке
равна

Таким образом, частная производная функции нескольких переменных определяется как производная функции одной из этих переменных. Вследствие этого все правила и формулы дифференцирования, выведенные для производных функции одной переменной, сохраняются для частных производных функции нескольких переменных. Следует лишь помнить, что во всех этих правилах и формулах при нахождении частной производной по какому-либо аргументу все остальные аргументы считаются постоянными.
Пример 1. Найти частные производные функции 
Решение. Частную производную
находим как производную функции
по аргументу
в предположении, что
. Поэтому
