3. Свойства двойного интеграла

Легко заметить, что определение двойного интеграла

конструктивно совершенно аналогично определению определенного интеграла (см. гл. VIII, § 2, п. 1):

В связи с этим двойной интеграл обладает теми же свойствами, что и определенный интеграл. Более того, доказательства этих свойств для двойного интеграла проводятся совершенно аналогично доказательству соответствующих свойств определенного интеграла. По этой причине свойства двойного интеграла приведем без вывода.

1. Постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла, т. е. если - некоторое число, то

2. Двойной интеграл от суммы нескольких функций равен сумме двойных интегралов от слагаемых:

3. Если в области интегрирования о имеет место неравенство

За. Если в области интегрирования и хотя бы в одной точке области , то

4. Если в области интегрирования функции удовлетворяют неравенству , то

5. Теорема о среднем значении. Пусть функция непрерывна в замкнутой ограниченной области 0. Тогда в области о существует такая точка

Если функция в области 0, то эта теорема имеет следующий геометрический смысл.

Объем цилиндрического тела равен объему цилиндра с тем же основанием а, что и у цилиндрического тела, и с высотой, равной значению функции в некоторой точке области 0. Значение функции определяемое из равенства (5), называется средним значением функции в области а.

6. Свойство аддитивности. Если область интегрирования разбить на несколько частей то

Геометрически, если рассматривать двойной интеграл как объем цилиндрического тела, это свойство очевидно. Оно выражает тот простой факт, что если основание цилиндрического тела разбить на несколько частей то объем всего цилиндрического тела равен сумме объемов составляющих его цилиндрических тел с основаниями