3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка

Рассмотрим теперь основные свойства линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка (44)

Линейное однородное уравнение, левая часть которого совпадает с левой частью неоднородного уравнения (44), в дальнейшем будем называть соответствующим однородным уравнением.

Теорема 1. Если частное решение линейного неоднородного уравнения (44), общее решение соответствующего однородного уравнения, то функция является общим решением неоднородного дифференциального уравнения (44).

Доказательство. Так как у(х) есть решение уравнения (44), то

Аналогично, вследствие того что есть решение соответствующего однородного уравнения,

В таком случае имеем

Отсюда следует, что функция действительно является решением неоднородного уравнения (44). Для того чтобы убедиться, что это решение является общим, остается показать, что из него можно выделить единственное частное решение, удовлетворяющее начальным условиям (49):

Пусть два частных решения соответствующего однородного уравнения, образующие фундаментальную систему частных решений. В таком случае и

Пусть какое-либо частное решение неоднородного уравнения (44), удовлетворяющее начальным условиям (49). Покажем, что оно может быть выделено из решения (50) соответствующим подбором .

Действительно, так как

то, подставляя начальные условия, получим систему уравнений для определения неизвестных :

или

Эта система имеет единственное решение так как ее определитель отличен от нуля (см. доказательство теоремы 2, п. 2). Полученное частное решение в силу теоремы единственности будет совпадать с решением . Таким образом, теорема доказана.