ГЛАВА X. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

§ 1. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ

1. Задачи, приводящие к двойному интегралу

Задача об объеме. Пусть а — область в плоскости ограниченная замкнутым контуром L Рассмотрим тело, ограниченное областью а, цилиндрической поверхностью С с направляющей l и с образующими, параллельными оси и частью поверхности уравнение которой (рис. 227).

Рис. 227

При этом предположим, что функция определена, непрерывна и неотрицательна в области а. Такое тело назовем цилиндрическим. Поставим задачу о вычислении объема цилиндрического тела. Для этого разобьем область а (см. рис. 227) произвольным образом на малых площадок причем Над каждой из малых площадок , - построим цилиндр, ограниченный сверху куском поверхности S, проектирующимся в площадку Этим самым все цилиндрическое тело с основанием а разобьется на столбиков с основаниями . Обозначим объем столбика с основанием через . Тогда объем У цилиндрического тела равен сумме объемов этих столбиков: Рассмотрим цилиндр с основанием За высоту цилиндра примем аппликату поверхности S в некоторой произвольной точке площадки (рис. 228):

Объем этого цилиндра, равный произведению площади основания на высоту примем за приближенное значение объема столбика с основанием

Взяв сумму всех таких объемов, получим приближенное значение объема V цилиндрического тела:

За точное значение объема V примем предел суммы при условии, что число малых площадок неограниченно увеличивается, а каждая площадка стягивается в точку:

Рис. 228

Итак, задача о вычислении объема V цилиндрического тела свелась к нахождению некоторого предела.

Задача о массе плоской пластинки. Пусть дана тонкая материальная пластинка 0, расположенная в плоскости . Рассмотрим некоторую площадку этой пластинки и в ней точку . Отношение массы площадки к ее площади, т. е. называется средней поверхностной плотностью площадки Да. Если существует предел у отношения при условии, что площадка Да стягивается в точку , то этот предел называется поверхностной плотностью в точке Р. Этот предел зависит от положения точки Р и потому является некоторой функцией ее координат: у).

Определим массу пластинки а, зная, что поверхностная плотность у в каждой ее точке есть заданная непрерывная функция координат точки . Если бы пластинка была однородной, т. е. плотность у в каждой ее точке была постоянной то ее масса была бы равна

Так как в общем случае плотность меняется от точки к точке, то формула (2) для определения массы пластинки а непригодна. Поэтому поступим следующим образом.

Разобьем пластинку а на малых площадок . В каждой такой малой площадке выберем по точке (рис. 229). Если площадки достаточно малы, то в пределах каждой такой площадки плотность у изменяется незначительно и мало отличается от плотности в точке

Принимая приближенно плотность в каждой малой площадке постоянной, равной плотности в выбранной точке подсчитаем приближенно массу площадки

Так как масса m всей пластинки 0 равна Для ее вычисления получаем следующее приближенное равенство:

Рис. 229

За точное значение искомой массы примем предел суммы при условии, что число малых площадок неограниченно увеличивается, а каждая площадка стягивается в точку:

Таким образом, поставленная нами задача о вычислении массы тонкой пластинки сведена к нахождению предела некоторой суммы.

Рассмотренные здесь задачи приводят нас к очень важному обобщению определенного интеграла, а именно — к двойному интегралу, к изучению которого мы сейчас перейдем.