3. Градиент
При изучении скалярных полей наряду с функцией поля
рассматривается некоторый вектор, тесно связанный с этой функцией, — градиент скалярного поля.
Определение. Градиентом в точке
скалярного поля, заданного дифференцируемой функцией
, называется вектор, равный
Градиент функции
, мы будем обозначать одним из символов
По определению
Таким образом, каждой точке
скалярного поля, заданного дифференцируемой функцией
, относятся не только значение этой функции, но и вполне определенный вектор
.
Пример 1. Найти градиент функции
в точке
.
Решение. Введя обозначение
найдем
. Затем, пользуясь формулой (42), получим
Между градиентом функции и
в данной точке и производной по направлению в той же точке имеется связь, которая устанавливается следующей теоремой.
Теорема. Проекция вектора
и на единичный вектор
к равна производной функции и по направлению
Доказательство. Пусть
. Из векторной алгебры известно, что проекция какого-либо вектора на единичный вектор равна скалярному произведению этих векторов (см. гл. III, § 2, п. 8, формула
).
Но
Поэтому
(см. формулу (40)). Теорема доказана.
Учитывая, что производная по направлению
выражает скорость изменения скалярного поля
в этом направлении, формулу (43) можно прочитать так: проекция
и на вектор 1 равна скорости изменения поля
в направлении вектора I.
Обозначим через
угол между единичным вектором
. Тогда
Поэтому, на основании формулы (43),
Если направления векторов
и совпадают
, то производная по направлению имеет, очевидно, наибольшее значение, равное
Рис. 224
Таким образом, мы приходим к следующему выводу:
и есть вектор, указывающий направление наибольшего возрастания поля в данной точке и имеющий модуль, равный скорости этого возрастания.
Отсюда следует, что
и функции скалярного поля и
определяется самим полем и не зависит от системы координат, в которой рассматривается функция поля.
Выясним взаимное расположение
в данной точке
и поверхности уровня, проходящей через эту точку. Пусть уравнение этой поверхности имеет вид
Рассмотрим кривую L, лежащую на поверхности (45) и проходящую через точку
(рис. 224).
Предположим, что эта кривая задана уравнениями
где
- дифференцируемые функции t, причем
Каждая точка кривой L имеет координаты
которые должны удовлетворять уравнению (45) поверхности уровня, поскольку кривая L полностью лежит на этой поверхности. Таким образом, должно выполняться тождество
Дифференцируя обе части этого тождества по t, получим, применяя формулу (34) (см. § 5, п. 1) и учитывая, что
В частности, при
имеем
Левая часть этого равенства является скалярным произведением
и вектора
направленного по касательной к кривой L (см. гл. VI, § 5, п. 3). Таким образом,
Предположим, что
. Тогда из равенства (48) вытекает, что
перпендикулярен к вектору
направленному по касательной к кривой L в точке
.
Так как эта кривая была выбрана произвольно, то мы приходим к следующему выводу. Пусть скалярное поле задано дифференцируемой функцией
. Тогда
касательные, проведенные в точке
к линиям, лежащим на поверхности уровня и проходящим через точку
расположены в одной плоскости, перпендикулярной вектору
при условии, что этот вектор не равен нулю.
В случае плоского скалярного поля, заданного дифференцируемой функцией двух переменных
, градиент определяется формулой
Его связь с производной по направлению
выражается равенством