3. Градиент

При изучении скалярных полей наряду с функцией поля рассматривается некоторый вектор, тесно связанный с этой функцией, — градиент скалярного поля.

Определение. Градиентом в точке скалярного поля, заданного дифференцируемой функцией , называется вектор, равный

Градиент функции , мы будем обозначать одним из символов

По определению

Таким образом, каждой точке скалярного поля, заданного дифференцируемой функцией , относятся не только значение этой функции, но и вполне определенный вектор .

Пример 1. Найти градиент функции в точке .

Решение. Введя обозначение найдем . Затем, пользуясь формулой (42), получим

Между градиентом функции и в данной точке и производной по направлению в той же точке имеется связь, которая устанавливается следующей теоремой.

Теорема. Проекция вектора и на единичный вектор к равна производной функции и по направлению

Доказательство. Пусть . Из векторной алгебры известно, что проекция какого-либо вектора на единичный вектор равна скалярному произведению этих векторов (см. гл. III, § 2, п. 8, формула ).

Но

Поэтому

(см. формулу (40)). Теорема доказана.

Учитывая, что производная по направлению выражает скорость изменения скалярного поля в этом направлении, формулу (43) можно прочитать так: проекция и на вектор 1 равна скорости изменения поля в направлении вектора I.

Обозначим через угол между единичным вектором . Тогда Поэтому, на основании формулы (43),

Если направления векторов и совпадают , то производная по направлению имеет, очевидно, наибольшее значение, равное

Рис. 224

Таким образом, мы приходим к следующему выводу: и есть вектор, указывающий направление наибольшего возрастания поля в данной точке и имеющий модуль, равный скорости этого возрастания.

Отсюда следует, что и функции скалярного поля и определяется самим полем и не зависит от системы координат, в которой рассматривается функция поля.

Выясним взаимное расположение в данной точке и поверхности уровня, проходящей через эту точку. Пусть уравнение этой поверхности имеет вид

Рассмотрим кривую L, лежащую на поверхности (45) и проходящую через точку (рис. 224).

Предположим, что эта кривая задана уравнениями

где - дифференцируемые функции t, причем Каждая точка кривой L имеет координаты которые должны удовлетворять уравнению (45) поверхности уровня, поскольку кривая L полностью лежит на этой поверхности. Таким образом, должно выполняться тождество

Дифференцируя обе части этого тождества по t, получим, применяя формулу (34) (см. § 5, п. 1) и учитывая, что

В частности, при имеем

Левая часть этого равенства является скалярным произведением

и вектора

направленного по касательной к кривой L (см. гл. VI, § 5, п. 3). Таким образом,

Предположим, что . Тогда из равенства (48) вытекает, что перпендикулярен к вектору направленному по касательной к кривой L в точке .

Так как эта кривая была выбрана произвольно, то мы приходим к следующему выводу. Пусть скалярное поле задано дифференцируемой функцией . Тогда касательные, проведенные в точке к линиям, лежащим на поверхности уровня и проходящим через точку расположены в одной плоскости, перпендикулярной вектору при условии, что этот вектор не равен нулю.

В случае плоского скалярного поля, заданного дифференцируемой функцией двух переменных , градиент определяется формулой

Его связь с производной по направлению выражается равенством

или

где — угол между единичным вектором . Можно показать, что если поле задано дифференцируемой функцией , то вектор перпендикулярен к касательной» проведен кой к линии уровня в точке

Пример 2. Найти наибольшую скорость возрастания функций в точке

Решение. Наибольшая скорость возрастания функция равна модулю градиента этой функции. Находим

В точке Следовательно, наибольшая рость возрастания функции равна