9. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

Пусть даны две точки . Требуется составить уравнение прямой, проходящей через эти точки.

Напишем уравнение (15) пучка прямых, проходящих через точку :

Из этого пучка нам следует выбрать прямую, проходящую через точку Угловой коэффициент k этой прямой должен быть таким, чтобы координаты точки удовлетворяли уравнению (15), т. е. чтобы имело место равенство

Из этого условия мы находим угловой коэффициент искомой прямой

и подставляем его в уравнение (15):

Это уравнение обычно записывают в следующей симметричной форме:

Мы получили уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Предполагается, что в уравнении , так как иначе это уравнение не имело бы смысла. Геометрически это означает, что прямая, проходящая через точки не параллельна ни одной из координатных осей.

Если то прямая, проходящая через точки параллельна оси ординат. Ее уравнение имеет вид Если же то прямая параллельна оси абсцисс, и ее уравнение может быть записано в виде

Пример 1. Найти уравнение прямой, проходящей через точки

Решение. Полагая в уравнении , получим

или, после упрощений,

Пример 2. Найти уравнение прямой, проходящей через точки

Решение. Имеем . Следовательно, искомая прямая параллельна оси . Ее уравнение имеет вид