§ 6. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ

В § 1, п. 8 были рассмотрены приближенные методы интегрирования уравнений первого порядка — метод изоклин и метод Эйлера. В этом параграфе будет изложен метод нахождения приближенного решения дифференциального уравнения с помощью рядов. Этот метод пригоден для приближенного решения уравнений любого порядка.

Решение дифференциального уравнения может во многих случаях быть представлено в виде степенного ряда, сходящегося в определенном интервале. Коэффициенты этого ряда можно найти методом, основанным на применении ряда Тейлора.

Пусть требуется найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка

удовлетворяющее начальным условиям

Допустим, что решение данного уравнения можно представить в виде степенного ряда (ряда Тейлора):

Для определения коэффициентов ряда поступим следующим образом. Значения нам известны из начальных условий. Для нахождения подставим в правую часть уравнения (90) вместо значения при

Для определения дифференцируем обе части равенства (90) по и подставляем значения при Последовательно получаем

Дифференцируя равенство (93) еще раз и подставляя значения при найдем значение и т. д. Найденные значения производных подставляем в ряд Тейлора (91), который дает решение уравнения (90).

Пример. Найти первые три члена разложения в степенной ряд частного решения уравнения

удовлетворяющего начальным условиям:

Решение. Ищем решение уравнения в виде ряда Маклорена

Принимая во внимание, что при данного дифференциального уравнения находим

Для нахождения дифференцируем обе части данного уравнения:

при получим

Подставляя найденные значения производных в ряд, для решения получим приближенное выражение в виде частичной суммы ряда

Замечание. При применении рядов к приближенному решению дифференциальных уравнений мы не рассматриваем вопрос о том, при каких условиях возможно искать решение в виде степенного ряда. Этот вопрос изучается в специальных курсах дифференциальных уравнений.