§ 6. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ

1. Теорема Ферма

Теорема. Пусть функция определенная в интервале принимает в некоторой точке с этого интервала наибольшее или наименьшее значение. В таком случае, если в точке с существует производная этой функции, то она равна нулю.

Доказательство. Положим для определенности, что есть наибольшее значение функции в интервале . Покажем, что

По определению производной

Так как в точке с функция принимает наибольшее значение, то при любом знаке будем иметь

Отсюда, если то и, следовательно,

Если

Таким образом, производная не может быть ни положительной, ни отрицательной. Следовательно,

Геометрически теорему Ферма можно пояснить следующим образом. Так как производная равна тангенсу угла а, образованного касательной к графику функции с осью абсцисс, то равенство указывает на то, что в точке с абсциссой с, где функция имеет наибольшее или наименьшее значение, касательная к графику функции параллельна оси (рис. 144).