6. Гиперболоиды

Однополостный гиперболоид. Поверхность, определяемая уравнением

называется однополостным гиперболоидом. Эта поверхность имеет три плоскости симметрии — координатные плоскости, так как текущие координаты у и z входят в уравнение (55) в четных степенях.

Рис. 97

Пересекая однополостный гиперболоид плоскостью получим лежащую в плоскости гиперболу ABCD (рис. 97)

Аналогично, в сечении однополостного гиперболоида плоскостью получится гипербола EFGH

лежащая в плоскости

При пересечении однополостного гиперболоида плоскостью получится эллипс BFCG, уравнения которого имеют вид:

или

Полуоси этого эллипса возрастают с возрастанием абсолютной величины h.

При получится эллипс, лежащий в плоскости и имеющий наименьшие полуоси а и b. При получим однополостный гиперболоид вращения

При пересечении его плоскостями будут получаться окружности

В пп. 2 и 3 рассматривались цилиндрические и конические поверхности, каждая из которых составлена из прямых. Оказывается, однополостный гиперболоид можно также рассматривать как поверхность, составленную из прямых линий. Рассмотрим прямую, определяемую уравнениями

в которых а, b и с — полуоси однополостного гиперболоида, a k — произвольно выбранное число

Перемножая почленно эти уравнения, получим уравнение

т. е. уравнение однополостного гиперболоида.

Таким образом, уравнение однополостного гиперболоида является следствием системы уравнений (59). Поэтому координаты любой точки , удовлетворяющие системе уравнений (59), удовлетворяют также и уравнению (55) однополостного гиперболоида. Иными словами, все точки прямой (59) принадлежат гиперболоиду (55). Меняя значения k, мы получим целое семейство прямых, лежащих на поверхности (55). Аналогично можно показать, что однополостному гиперболоиду принадлежат все прямые семейства

где — произвольный параметр.

Можно также показать, что через каждую точку однополостного гиперболоида проходит по одной прямой из каждого из указанных семейств. Таким образом, однополостный гиперболоид можно рассматривать как поверхность, составленную из прямых линий (рис. 98). Эти прямые называются прямолинейными образующими однополостного гиперболоида.

Возможность составления поверхности однополостного гиперболоида из прямых линий используется в строительной технике.

Так, например, по конструкции, предложенной инженером Шуховым В. Г. в Москве была сооружена радиомачта с помощью балок, расположенных по прямолинейным образующим однополостного гиперболоида.

Двуполостный гиперболоид. Поверхность, определяемая уравнением

называется двуполостным гиперболоидом.

Координатные плоскости являются плоскостями симметрии для двуполостного гиперболоида.

Рис. 98

Рис. 99

Пересекая эту поверхность координатными плоскостями получим соответственно гиперболы

(рис. 99).

Если двуполостный гиперболоид (61) пересечь плоскостью (при ) то в сечении получится эллипс

с полуосями возрастающими с возрастанием При двуполостный гиперболоид (61) с плоскостью очевидно, не пересекается.

Двуполостный гиперболоид состоит из двух отдельных частей (полостей), чем и объясняется его название. При уравнение (61) имеет вид

и является уравнением двуполостного гиперболоида вращения. В сечении последнего с плоскостью получится окружность

радиуса