§ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

1. Дифференциал функции и его геометрический смысл

Рассмотрим функцию Найдем ее приращение соответствующее приращению аргумента в некоторой точке

Как видим, приращение функции можно рассматривать как сумму двух слагаемых: первого линейного относительно (точнее говоря, пропорционального ), и второго нелинейного относительно При оба слагаемых являются бесконечно малыми, т. е. стремятся к нулю. Но при этом второе слагаемое стремится к нулю быстрее, чем первое, т. е. предел отношения второго слагаемого к первому равен нулю:

Вследствие этого при малых приращение функции можно считать приближенно равным его линейной части: . В связи с этим линейная часть приращения называется главной частью приращения функции.

В нижеследующей таблице для функции в точке приведены значения приращения функции главной линейной его части и нелинейной части для различных значений

Из этой таблицы наглядно видно, насколько быстрее убывает нелинейная часть по сравнению с главной линейной частью при убывании Подобным свойством обладают многие функции.

Пусть приращение функции в точке можно представить в виде

где — приращение аргумента, вызвавшее приращение функции ;

А — постоянная (т. е. величина, не зависящая от - бесконечно малая функция высшего порядка малости.

Определение. Если прираирние функции у в точке может быть представлено по формуле (57), то главная часть приращения функции пропорциональная приращению аргумента, называется дифференциалом этой функции.

Дифференциал функции обозначается символом (читается «дэ игрек») или (читается «цэ эф от икс»).

Итак, по определению

Таким образом» если функция имеет в точке дифференциал, то ее приращение в этой точке представляет собой сумму двух слагаемых: дифференциала и нелинейной части высшего порядка малости, чем при Поэтому, пренебрегая при малых нелинейным слагаемым, получим следующее приближенное равенство

или

Рассмотрим теперь теоремы, устанавливающие связь между существованием производной и существованием дифференциала.

Теорема. Если функция имеет в точке дифференциал, то она имеет в этой точке производную.

Доказательство. Так как по условию функция имеет дифференциал, то ее приращение может быть представлено по формуле (57):

причем Разделив обе части формулы (57) на и переходя к пределу при получим

Но и, следовательно, производная существует и равна А.

Вследствие этого выражение для дифференциала будет иметь следующий вид:

Итак, из существования дифференциала следует существование производной, т. е. дифференцируемость функции. Покажем, что и обратно, из дифференцируемости функции следует существование дифференциала, т. е. имеет место следующая теорема.

Теорема. Если функция имеет в точке производную, то она имеет в этой точке дифференциал.

Доказательство. Пусть функция имеет в точке производную Отношение при фиксированном есть функция приращения Всякая функция, имеющая предел, равна сумме этого предела и некоторой бесконечно малой функции (см. гл. V, § 1, п. 6). Поэтому

где - бесконечно малая функция

Умножая обе части равенства (61) на получим

Таким образом, приращение функции А у представляет собой сумму двух слагаемых: . При этом первое слагаемое пропорционально а второе слагаемое при является бесконечно малой более высокого порядка, чем так как

Рис. 137

Следовательно, согласно данному выше определению, функция имеет в точке дифференциал, равный

Итак, понятия существования дифференциала и дифференцируемости функции равносильны.

Выясним геометрический смысл дифференциала. Для этого проведем к графику функции в точке касательную и обозначим через а ее угол с осью (рис. 137). Рассмотрим ординату этой касательной для точки . Отрезок , равный разности между этой ординатой и ординатой касательной для точки назовем приращением ординаты касательной. Покажем, что этот отрезок равен дифференциалу Из прямоугольного треугольника имеем:

Но, согласно геометрическому смыслу производной, Поэтому

Итак, мы выяснили геометрический смысл дифференциала: дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной.