5. Приложения тройного интеграла

Принципы, лежащие в основе применения тройного интеграла к решению физических задач, аналогичны принципам, лежащим в основе применения двойного интеграла, изложенным в п. 6, § 1. К тройным интегралам приводят, например, задачи, связанные с пространственным распределением массы. Рассмотрим некоторые из этих задач.

Статические моменты; центр тяжести. Как известно, статическим моментом материальной точки массы относительно плоскости называется произведение массы точки на ее аппликату: Аналогично определяются статические моменты соответственно относительно плоскостей Если дана система, состоящая из нескольких материальных точек, то ее статический момент определяется как сумма соответствующих статических моментов материальных точек, составляющих эту систему.

Пусть теперь в пространстве задано тело плотность которого в любой точке есть функция координат этой точки: . Вычислим статический момент этого тела.

Разобьем тело V на малых тел . В каждом малом теле выберем произвольно по точке Считая приближенно плотность в каждой точке малого тела постоянной, равной плотности в выбранной точке получим приближенное выражение для массы этого малого тела:

Заменим каждое малое тело материальной точкой с массой

Статический момент этой точки относительно координатной плоскости даст приближенное значение статического момента :

По свойству аддитивности статический момент всего тела равен сумме статических моментов тел . Поэтому для получим следующее приближенное равенство:

В пределе при условии, что малые тела стягиваются в точки, получим точное значение статического момента:

Итак,

Аналогично, для статических моментов тела V относительно плоскостей получим

Координаты х, у, z центра тяжести тела V определяется равенствами, аналогичными равенствам (23), п. 6, § 1:

где — масса тела V. Так как масса тела V, согласно п. 2 настоящего параграфа, определяется по формуле то, применяя формулы (35), (35) и (36), найдем:

Для однородного тела , поэтому формулы (37) примут вид:

или, так как то

Пример. Найти центр тяжести однородного тела, ограниченного параболоидом вращения и плоскостью (рис. 253).

Решение. Исходя из симметрии тела относительно координатных плоскостей заключаем, что центр тяжести лежит на оси Oz и, следовательно, Остается таким образом, найти аппликату z центра тяжести, которая определяется по формуле (38):

Рис. 253

Подсчитаем объем тела и статический момент

Вычисления будем проводить в цилиндрических координатах: . Площадка о в плоскости — круг радиуса с центром в начале координат. Поэтому

Таким образом,

Следовательно, координаты центра тяжести таковы:

Момент инерции. Момент инерции материальной точки массы относительно оси равен произведению массы этой точки на квадрат расстояния от этой точки до оси

Так как квадрат расстояния точки до оси равен , то

Аналогично определяются моменты инерции относительно осей Оу и Oz:

Пусть дано тело V, плотность у которого в любой точке есть заданная функция координат этой точки, т. е. . Найдем моменты инерции этого тела относительно осей координат. Выделив малое тело найдем приближенно его момент инерции относительно оси Ох:

Пользуясь свойством аддитивности момента инерции, вычислим приближенно момент инерции тела

В пределе при условии, что каждое из малых тел стягивается в точку, получим точное значение момента инерции:

Итак,

Аналогичные формулы получим для моментов инерции

Пример. Определить момент инерции относительно оси однородной пирамиды V (см. рис. 249) плотности ограниченной плоскостями

Решение. Применяя формулу (39), имеем

Но

Поэтому