11. Производная сложной функции

Пусть . Тогда у есть сложная функция , а переменная — промежуточный аргумент (см. гл. I, § 4, п. 6).

Как найти производную сложной функции зная производную у по и и производную промежуточного аргумента их? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Если функция имеет производную их в точке , а функция имеет производную в соответствующей точке и, то сложная функция в данной точке х имеет производную которая находится по следующей формуле:

(37)

Часто пользуются менее точной, но более короткой формулировкой этой теоремы: производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента.

Доказательство. Дадим приращение . Тогда получат соответственно приращения .

Предположим, что при не принимает значений, равных нулю. Тогда имеет место тождество

Переходя в нем к пределу при получим

Так как функция дифференцируема, а следовательно, и непрерывна, то при также и Поэтому

Следовательно,

Но . Поэтому

что и требовалось доказать.

Можно показать, что формула (37) оказывается верной и в случае, когда при принимает значения, равные нулю. Пример. Найти производную функции

Решение. Данная функция — сложная. Введя обозначение получим .

По формуле (37) найдем

или, поскольку

Сложная функция может быть составлена не из двух звеньев, как это было в только что рассмотренном примере, а из большего их числа. Такой, например, является функция состоящая из трех звеньев. Здесь, для того чтобы найти у по данному значению надо совершить три действия: 1) возвести в квадрат; 2) найти значение арктангенса от взять натуральный логарифм от найденного значения

В таких случаях необходимо ясно представить себе, какое из действий, приводящих к значению сложной функции, является последним. При дифференцировании сложной функции та величина, над которой совершается последнее действие, принимается за промежуточный аргумент и.

Для функции последним действием является взятие натурального логарифма. Это действие совершается над функцией Поэтому полагаем промежуточный аргумент

Тогда . Найдем производную у по формуле (37):

Дифференцирование не закончено, так как не найдена производная функции . Эта функция также сложная, и последним действием для нее является нахождение арктангенса от . Поэтому, применяя повторно формулу (37) и полагая в ней уже , получим

Окончательно будем иметь:

При достаточном навыке буква и для обозначения промежуточного аргумента не вводится. Вот как, например, могут быть найдены производные только что рассмотренных сложных функций:

Аналогично