2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

В этом пункте мы выведем уравнение прямой линии в декартовой системе координат. Это значит (см. гл. I, § 5, п. 2), что мы найдем такое уравнение, связывающее которому будут удовлетворять координаты любой точки данной прямой и не будут удовлетворять координаты точек, лежащих вне этой прямой.

Пусть прямая не параллельна ни одной из координатных осей.

Положение такой прямой вполне определяется ординатой b точки В (0; b) ее пересечения с осью ординат и углом а между осью и прямой, т. е. наименьшим углом, на который нужно повернуть против часовой стрелки ось до ее совпадения с прямой (рис. 37).

Рис. 37

Рис. 38

Пусть - произвольно выбранная точка нашей прямой, не совпадающая с точкой . Проведем через точку В ось параллельную оси и одинаково с ней направленную. Угол между осью и данной прямой, очевидно, также равен а. В системе Вхгу точка М имеет координаты и причем Из определения тангенса угла следует

или

Заменяя в этом уравнении их выражениями через х, у и b, получим

или

(1)

Введем обозначение Тогда уравнение (1) примет следующий вид:

Это уравнение является уравнением данной прямой. В самом деле, из предыдущих рассуждений следует, что ему удовлетворяют координаты любой точки прямой, не совпадающей с точкой В (0; b). Легко проверить непосредственно, что координаты точки В (0; b) ему также удовлетворяют. С другой стороны, можно убедиться, что координаты любой точки , лежащей вне данной прямой, уравнению (2) не удовлетворяют.

Число называется угловым коэффициентом прямой, ордината - отрезком, отсекаемым прямой на оси а уравнение (2) - уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Пусть теперь прямая параллельна оси или, может быть, совпадает с ней (рис. 38). В этом случае .

Для определенности предположим, что прямая пересекает ось ординат в точке . Тогда любая точка М этой прямой имеет ординату, равную ординате точки В:

Очевидно, координаты точки, не лежащей на данной прямой уравнению (3) не удовлетворяют. Поэтому уравнение (3) является уравнением данной прямой, т. е. прямой, параллельной оси прямая совпадает с осью абсцисс). Легко видеть, что уравнение (3) является частным случаем уравнения (2) при

Второй частный случай уравнения (2) получим, если отрезок b, отсекаемый прямой по оси ординат, равен нулю:

Прямая в этом случае проходит через начало координат.

Отрезок b, отсекаемый прямой на оси ординат, и угловой коэффициент прямой вполне определяют положение этой прямой, так как любому значению соответствует вполне определенное значение угла а (см. п. 1).

Пример 1. Найти уравнение биссектрисы I и III координатных углов.

Рис. 39

Решение. Биссектриса I и III координатных углов есть прямая, проходящая через начало координат. Ее уравнение мы ищем в форме (4): . При этом ее угловой коэффициент Поэтому искомое уравнение имеет следующий вид:

Пример 2. Найти уравнение прямой, проходящей через точку и образующей с осью абсцисс угол

Решение. Найдем угловой коэффициент искомой прямой: По условию, отрезок На основании формулы (2) уравнение прямой с угловым коэффициентом будет иметь вид

или