4. Формула Ньютона—Лейбница

Вычисление определенного интеграла, как предела интегральных сумм, сложно даже для простейших функций. Теорема о производной интеграла по верхней границе позволяет установить простой метод вычисления определенных интегралов, минуя суммирование и переход к пределу. Этот новый метод вычисления определенного интеграла выражается формулой Ньютона—Лейбница, к выводу которой мы приступим.

В предыдущем пункте мы установили, что функция

является первообразной для непрерывной подынтегральной . Как известно, всякая другая первообразная для функции отличается от только постоянным слагаемым. Поэтому, если - другая первообразная для , то , или

Постоянную С легко найти, если заметить, что как интеграл с равными границами интегрирования. Поэтому, подставляя в соотношение , получим

Отсюда и, следовательно, . В частности, при имеем .

Это и есть формула Ньютона—Лейбница.

Она показывает, что, для того чтобы вычислить определенный интеграл, нужно найти какую-либо первообразную для подынтегральной функции и взять разность значений этой первообразной, вычисленных для значений равных верхней и нижней границам интегрирования. Короче говоря, определенный интеграл равен приращению первообразной от подынтегральной функции на сегменте интегрирования.

Разность символически обозначают

Применяя этот символ, мы можем записать формулу Ньютона — Лейбница в таком виде:

Рассмотрим несколько простейших примеров.

Пример 1. Вычислить

Решение. Одной из первообразных от подынтегральной функции является функция Поэтому, применяя формулу (27) Ньютона—Лейбница, получим

Пример 2. Вычислить

Решение. По формуле (27) Ньютона—Лейбница

Замечание. Формула Ньютона—Лейбница была выведена в предположении, что подынтегральная функция непрерывна. Для разрывных функций формула Ньютона—Лейбница может не иметь места.