Глава девятая. ЗАВИСИМЫЕ ФАКТОРЫ И ФАКТОРЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

1. КОСОЕ ВРАЩЕНИЕ

До сих пор мы оперировали понятием ортогональных факторов, представленных взаимно перпендикулярными осями координат безотносительно к размерности системы. Связанная с этим зависимость факторов оказывается выгодной с чисто вычислительной точки зрения и рассматривается скорее всего в том смысле, что в некоторых конкретных тестах обнаруживаются факторы, отсутствующие в других заданиях. Это и имеется в виду, когда речь идет о статистической независимости факторов.

Однако факторный анализ не ограничивается концепцией ортогональных факторов. В целях дальнейшего изложения нужно немного отступить назад, вернувшись к проблеме вращения осей координат, которая была изучена на примере шести переменных. Описанная процедура целиком относилась к случаю перпендикулярного вращения. Это означает, что каждая пара осей системы координат перемещалась при сохранении между ними угла 90°. Необходимо, однако, учитывать, что вращение с использованием реальных экспериментальных данных приводит, как правило, к окончательным решениям, в которых угол между осями не всегда прямой.

В большинстве работ, основывающихся на психологических, биологических или социологических данных, глубокий анализ позволяет обнаружить, что совокупности точек, образующие гиперплоскости, не являются взаимно перпендикулярными. Отсюда вытекает, что предположение перпендикулярности осей системы координат представляет собой определенное упрощение, допустимое в одних и недопустимое в других случаях.

По мнению Кеттелла, все вращения с использованием физических, биологических, психологических или социологических данных убеждают в том, что истинные факторы, действительно существующие в природе, в той или иной степени коррелируют друг с другом. В этом нет ничего удивительного. Образ мира, существующий сегодня, требует учета взаимосвязей и зависимостей всех его элементов. И хотя какой-либо фактор может быть выделен в качестве независимого влияния на определенную зависимую от него группу переменных, сам этот фактор, несомненно, зависит от других факторов.

Можно привести много примеров из области психологии, которые иллюстрируют зависимость факторов. Тэрстоун установил корреляции между факторами способностей. В исследованиях структуры индивидуальных особенностей была обнаружена тенденция к положительной корреляции между осями фактора В (общей одаренности) и фактора С (эмоционального равновесия).

Для более глубокого исследования проблемы зависимых факторов целесообразно еще раз обратиться к вопросу «независимости» факторов. Кеттелл отмечает, что независимость факторов можно понимать двояко. Допустимо говорить, что какое-либо явление независимо в том смысле, что оно может быть независимо выделено из конкретных данных, абстрагировано, задумано и названо. В этом смысле независимым может быть цвет, форма, вес, хотя в действительности конкретные предметы являются цветными, тяжелыми, легкими, и т. п. Такая абстрактная независимость полностью согласуется с тем, что эти элементы могут влиять друг на друга, представляя собой, например, свойства конкретного живого организма в природе. И хотя такие свойства можно обозначать независимыми символами в математических уравнениях, им может быть присуща тенденция к корреляции.

Независимость можно понимать и более глубоко, когда к «абстрактной» независимости добавляется еще статистическая независимость. Такая независимость сопровождается полным отсутствием корреляции. Если переменные символически представлены как векторы в пространстве, угол между ними будет точно равен прямому. Кеттелл подчеркивает, что концепция ортогональных факторов, возникшая на заре факторного анализа, относится к факторам, независимым во втором смысле. В то же время коррелируемым факторам, существование которых должно было обнаружиться в процессе дальнейших исследований, можно приписать независимости в первом смысле.

В соответствии с принятой геометрической символикой, с помощью которой корреляция выражается углом между векторами, представляющими переменные, факторы, коррелирующие друг с другом, называются косыми факторами. Это означает попросту, что в этом случае оси координат, представляющие собой факторы, наклонены друг к другу под углом, отличающимся от прямого. При этом угол наклона может быть как острым, так и тупым, что соответствует положительной и отрицательной корреляции. Соответственно независимые факторы, оси которых строго перпендикулярны, часто называются ортогональными.

Значение косых факторов продолжает оставаться предметом дискуссий среди специалистов по факторному анализу. Большое значение здесь имеет тот факт, что вращение косых факторов значительно осложняет вычисления. Приведем различные аргументы обеих сторон, т. е. сторонников концепций косых и ортогональных факторов. Например, Кеттелл, считающий косые факторы неотъемлемым элементом факторного анализа, подчеркивает, что в попытках объяснения и предвидения явлений в природе необходимо скорее всего следовать природе, а не навязывать ей искусственные упрощения. Ограничение анализа ортогональными факторами часто связано с серьезными ошибками. Поскольку в различных изучаемых группах углы между факторами разные, то в случае использования перпендикулярных осей никогда нельзя получить идентичные системы факторных нагрузок на основе двух любых корреляционных матриц. Поэтому и трудно устанавливать тождество факторов на основе ряда осуществляемых по плану экспериментов. Ортогональные факторы имеют определенное значение только для одной корреляционной матрицы. Отсюда следует, что при необходимости определения одних и тех же факторов в различных экспериментах, осуществляемых в разных условиях, нужно использовать косые факторы. Бездоказательным является аргумент экономии на вычислениях, выдвигаемый противниками концепций зависимых факторов, поскольку нельзя понимать ее узко как экономию расчетов в случае одной конкретной корреляционной матрицы. Если такую экономию понимать более широко, применительно ко всему направлению исследований, то более экономичным окажется использование косых факторов, позволяющие избежать многих ошибок.

У других исследователей те же аргументы облечены в иную форму. Указывается, например, что если факторы, полученные на основе экспериментальных данных, действительно косые, то это нужно учитывать при интерпретации результатов и всяческих попытках определения природы факторов. Введение в анализ «косой» системы координат позволяет отыскивать лучшее соответствие осей и связок векторов, представляющих переменные, и определять более выразительную простую структуру. Как правило, акцентируется тот факт, что в природе существуют широко распространенные связи всех элементов и явлений, и это нужно учитывать в методах факторного анализа.

Для полноты рассмотрим некоторые аргументы сторонников перпендикулярных осей. Они подчеркивают, что перпендикулярные оси теоретически соответствуют независимым факторам. Если используемые на практике инструменты наблюдений (например, тесты) не настолько независимы как теоретические факторы, то это скорее доказывает, что независимые инструменты еще не сконструированы. В то же время не доказывается, что факторы действительно зависимы. Это должно служить стимулом для разработки таких инструментов исследования, которые опираются на независимые факторы. Часто выдвигается аргумент, который уже рассматривался выше, что процедура, основывающаяся на концепции независимых факторов, гораздо проще с вычислительной и геометрической точек зрения.

Здесь пускаются в ход даже такие вещи, как миллиметровая бумага, на которой можно точно изобразить прямоугольные системы координат. В то же время при изображении косых осей необходимы поправки на неточность. В расчетах не нужно оперировать различными сложными понятиями, связанными с концепцией косых факторов. Наиболее существенным представляется, однако, следующий аргумент: сторонники независимых факторов утверждают, что за исключением случаев большой корреляции осей системы координат формулы факторов, полученных с помощью двух возможных методов, существенно не различаются и могут интерпретироваться одинаково. В тех наиболее частых случаях, когда корреляция осей незначительна, косое вращение значительно осложняет расчеты и не позволяет выявить различия, имеющие какое-либо практическое значение.

Ознакомившись со всеми такими аргументами, мы все же считаем, что по крайней мере в случаях значительной корреляции осей факторов нужно использовать метод косого вращения.

Существует несколько методов такого вращения. Подробно они рассматриваются в более фундаментальных работах по факторному анализу. Чтобы познакомить читателя хотя бы с самыми общими проблемами, связанными с косым вращением, рассмотрим один из наиболее распространенных методов, используя простой пример, позаимствованный из литературы. Для начала сделаем пару вводных замечаний.

В случае перпендикулярного вращения, подробно рассмотренного с помощью примера шести переменных, самым существенным было то, что угол между осями системы координат в процессе вращения всегда был прямым. Поэтому факторы всегда оставались «независимыми», как и перед вращением. При косом вращении каждая ось вращается отдельно, при этом можно не заботиться о том, чтобы угол между нею и другими осями оставался прямым. Именно поэтому косое вращение дает большую свободу при выборе положения каждой оси, благодаря чему можно получить большое число нулевых факторных нагрузок. С помощью косого вращения легче достичь простой структуры.

Конкретный метод косого вращения, который мы попытаемся кратко описать, представляет собой один из многих используемых на практике методов. Область его применения для различных видов экспериментов довольно широка. Этот метод называется лучевым, или радиальным. При рассмотрении этого метода будут введены некоторые новые понятия и термины, которые не были нужны при перпендикулярном вращении. Необходимо подчеркнуть, что способы изложения различных методов факторного анализа разными авторами могут существенно отличаться друг от друга. При этом имеется в виду не только используемая символика, но и способы описания различных понятий и особенностей применяемой процедуры. В этих условиях дать понятное и однозначное изложение какого-либо более или менее сложного метода нелегко. Попытаемся как можно более последовательно пользоваться символикой, которая была введена нами при описании перпендикулярного вращения.

При изложении метода воспользуемся реальным примером, рассмотренным Дж. П. Гилфордом (Psychometric methods, основе примера лежали 8 тестов, составляющих уже давно известную серию «Army Alpha», использованную в свое время в американской армии.

С помощью этих тестов обследовалась группа из 108 студентов высшей технической школы. После осуществления факторного анализа уже известным нам центроидным методом была получена факторная матрица (табл. 9.1). С помощью этой матрицы попытаемся проиллюстрировать процедуру косого вращения радиальным методом, включающую следующие последовательные операции:

1. Матрица включает три центроидных фактора Это означает, что перед нами трехмерный случай. Как и в случае перпендикулярного вращения, начнем с изображения совокупностей точек, соответствующих концам векторов, принимая во внимание каждый раз одновременно по две оси. Координаты отдельных точек, как и ранее, получаем из факторной матрицы. На рис. 9.1 изображены две такие совокупности в плоскостях , где О — начало координат. Центроидные оси перпендикулярны друг другу. Тщательно изучим конфигурацию точек для определения направления и масштаба вращения.

2. Через совокупности точек проводим линии, проходящие через начало координат. Они должны попадать в максимально возможное число точек или проходить в непосредственной близости к ним. Эти линии, обозначенные на рис. 9.1, а через и представляют собой уже известные нам «гиперплоскости». Указанным выше условиям в наибольшей степени соответствует линия так как точки тестов 1, 6 и 2 лежат прямо на ней. Необходимо отметить, что направление, в котором размещаются эти точки, совпадает с радиусом окружности с центром в точке О. Поэтому такая группировка точек называется радиальной полосой, откуда и происходит название метода. Линия в меньшей мере соответствует приведенным условиям, так как точки не образуют здесь радиальной полосы.

Однако здесь она очень близко подходит к точкам 5 и 8. Обе линии лежащие в плоскости являются в принципе следами гиперплоскостей. Если представить себе еще третье измерение, то наши точки могут выходить из плоскости либо находиться выше или ниже ее.

Рис. 9.1. Графики конфигурации точек 8 тестов перед косым вращением

То, что мы видим на этой плоскости, представляет собой лишь следы этих точек, точно так же, как линии являются следами гиперплоскостей. Определив положение гиперплоскостей, вычерчиваем из точки О перпендикулярные к ним линии. Эти линии, обозначенные являются нормалями к гиперплоскостям (нормаль к плоскости — это линия, перпендикулярная к ней). В случае радиального метода нормали к гиперплоскостям служат новыми осями координат. Поэтому, как легко видеть, тесты, лежащие в гиперплоскости, будут иметь нулевые проекции на такую ось отсчета, тогда как тесты, наиболее отдаленные от гиперплоскостей, будут иметь после вращения наибольшие нагрузки фактора, представленного нормалью.

На рисунке нормаль к гиперплоскости обозначена так как она расположена ближе коси чем Напротив, нормаль к гиперплоскости обозначена Направление нормали строго совпадает с направлением, соответствующим местонахождению остальных точек.

Определив новые положения осей перейдем к оси Воспользуемся рисунком 9.1, б, на котором изображена конфигурация точек в плоскости Здесь целесообразно провести гиперплоскость поблизости от точек 2, 5 и 8. Линия, представляющая собой след этой гиперплоскости, обозначена Перпендикулярная к ней линия (нормаль к гиперплоскости) дающая положительные проекции других тестов, должна проходить в направлении вниз направо. Теперь, когда определены все три новые положения трех осей, можно приступить к вращению. Косое вращение осуществляется несколько иначе, чем перпендикулярное, а именно одновременно перемещаются все те оси, для которых были определены гиперплоскости. В нашем случае первая итерация вращения еще не дает окончательного результата, но зато позволяет приблизиться к нему.

3. Следующим шагом, как и в случае перпендикулярного вращения, является построение матрицы трансформации. Умножение исходной факторной матрицы V0 на матрицу трансформации дает первую матрицу повернутых факторов Как видим, основная процедура аналогична случаю перпендикулярного вращения. Отличие заключается в способе получения матрицы трансформации к. Процесс построения этой матрицы начинается с определения направляющих чисел каждой новой оси или, в нашем случае, нормали к соответствующей гиперплоскости. Направляющие числа — это координаты, определяющие положение новой оси относительно исходной центроидной оси. Эти координаты определяются таким образом, что выбирается какая-либо точка на новой передвинутой оси и из этой точки восставляются перпендикуляры на центроидные оси, представляющие в этом случае систему отсчета для вращения. На практике прежде всего проводятся линии, параллельные цептроидным осям (на рисунке это пунктирные линии). Расстояние каждой такой линии от центроидной оси, которой она параллельна, равно единице. Затем новые оси (нормали к гиперплоскостям) удлиняются до пересечения их с пунктирными линиями. Координаты этих точек пересечения дадут искомые направляющие числа.

На рис. 9.1, а показаны точки пересечения новой оси с линией, параллельной центроидной оси Си и точка пересечения новой оси с линией, параллельной центроидной а на рис. 9.1, б отмечена точка пересечения новой оси с линией, параллельной оси Теперь каждая новая ось может быть определена с помощью уравнения, включающего направляющие числа, взятые из рисунков. Эти уравнения имеют следующий вид:

4. Направляющие числа записываются в матрицу (табл. 9.1). Нулевые элементы этой матрицы означают, что новые оси продолжают оставаться перпендикулярными к одной из центроидных осей. Так, оси остаются перпендикулярными к оси а ось к оси Вращение осуществлено лишь в плоскостях, перпендикулярных к этим осям. В матрице в каждом столбце только два элемента отличны от нуля. В строках таких элементов может быть больше двух.

Таблица 9.1. Первое косое вращение радиальным методом

5. Нормализуем направляющие числа для определения направляющих косинусов. Из опыта перпендикулярного вращения мы знаем, что нормализация означает вычисление другой пары координат, сумма квадратов которых равна 1.

Для этого складываем квадраты направляющих чисел и определяем величину . Затем вычисляем квадратные корни из этих величин . После этого направляющие числа делим на полученные значения. Обычно вместо деления осуществляется умножение элементов матрицы на величины, обратные корню квадратному. Эти величины обозначают

Итак, первый столбец матрицы обозначенный Си вычисляется следующим образом (с округлением до четырех знаков после запятой):

Второй столбец вычисляется следующим образом:

Наконец, третий столбец определяется в результате следующих операций:

6. Переходим к вращению, умножая матрицу на матрицу для определения первой матрицы косоугольных повернутых факторов (табл. 9.1).

С помощью рисунка проверяем факторные нагрузки матрицы т. е. устанавливаем, соответствует ли расстояние отдельных точек от гиперплоскостей значениям факторных нагрузок. При косом вращении нельзя использовать способ проверки, заключающийся в расчете общности так как он применим только к перпендикулярному вращению.

7. Вычисляем корреляции осей новой косоугольной системы координат. Эти корреляции содержит матрица Она вычисляется умножением транспонированной матрицы трансформации на матрицу . Таким образом,

Дадим развернутое изложение этой операции, чтобы читатель смог осуществить ее проверку и выполнение самостоятельно. Произведение матриц будет иметь вид:

Учитывая правила умножения матриц, последовательные произведения будут иметь вид:

1. Первая строка на первый столбец

2. Вторая строка Я на второй столбец

3. Первая строка на третий столбец

4. Вторая строка на первый столбец Л:

5. Вторая строка на второй столбец

Аналогично выполняются остальные операции умножения. Необходимо отметить, что результатом операций умножения всегда будет величина, находящаяся в матрице - произведении на пересечении строки и столбца с соответствующими номерами. Например, умножая вторую строку матрицы на второй столбец матрицы получаем элемент матрицы находящийся на пересечении второй строки и второго столбца.

В результате этих вычислений определяем полную корреляционную матрицу, у которой на главной диагонали находятся единицы.

Остальные элементы этой матрицы отличны от нуля, что свидетельствует о косоуголыюсти осей новой системы. Например, корреляция осей довольно значительна, так как коэффициент корреляции в этом случае равен —0,447. На этом в принципе заканчивается первый этап косого вращения. Для проверки результатов и внесения поправок в целях получения большого числа нулевых нагрузок в матрице после поворота обратимся к новым рисункам (9.2) в плоскостях При этом опираться на факторную матрицу При вычерчивании этих рисунков мы не учитываем того, что оси системы координат косоугольны, и делаем их перпендикулярными, отмечая лишь на каждом рисунке коэффициент корреляций между каждой парой осей. Это делается потому, что при нанесении пары осей под углом, соответствующим корреляции, возникают трудности в размещении конфигурации точек и дальнейшем вращении. Такое упрощение допустимо, так как в плоскости выполняет роль гиперплоскости для нормали и наоборот. Гиперплоскость и ее нормаль перпендикулярны, и это для нас наиболее существенно. Далее выполняем следующие операции:

1. Изучаем рисунки 9.2, а, б, в и определяем поправки для дальнейших вращений. Как и ранее, вычерчиваем следы гиперплоскостей и нормали к ним

Рис. 9.2. Графики конфигурации точек 8 тестов в трех плоскостях, образованных тремя осями системы координат после косоугольного вращения радиальным методом

По-видимому, нужны лишь небольшие вращения для получения простой структуры. Можно еще элиминировать некоторые незначительные отрицательные нагрузки и увеличить количество нулевых нагрузок, удаляя малые положительные нагрузки.

2. Так же, как и раньше, строим матрицу направляющих чисел (табл. 9.2). Переходим к новой операции, которая не была нужна в первой стадии вращения. Речь идет о расчете матрицы

3. Матрица получается в результате умножения предыдущей матрицы трансформации на новую матрицу направляющих чисел Матрицу L рассматриваем как новую матрицу направляющих чисел. Дальнейшая процедура аналогична выполненной на первой стадии.

Вычисляем направляющие косинусы являющиеся элементами матрицы трансформации после чего умножаем исходную матрицу центроидных факторов на . В результате получаем вторую матрицу косоугольных повернутых факторов (табл. 9.2).

Набор факторных нагрузок в этой матрице представляет собой пример ярко выраженной простой структуры, полученной путем косого вращения. Столбец С" этой матрицы содержит четыре, а столбцы три нулевые факторные нагрузки. За исключением теста 3, имеющего большие нагрузки трех факторов, каждая строка содержит по крайней мере один нулевой элемент. Тест 2 включает лишь фактор , а тесты 5 и 8 включают лишь фактор . Более того, матрица не содержит больших отрицательных нагрузок. Все это говорит о том, что с помощью косоугольного вращения мы получили истинное и строго определенное решение, поддающееся психологической интерпретации. Поскольку в предыдущих разделах уже рассматривалась интерпретация факторов на примере шести переменных, мы не будем еще раз обсуждать это, тем более, что нашей основной целью была лишь иллюстрация самой процедуры косого вращения.

Необходимо, однако, напомнить, об одной важной проблеме, связанной с методом вычисления косоугольных факторов. Речь идет о специальной проблеме, касающейся системы осей координат, с которой мы сталкиваемся в процессе косого вращения.

Таблица 9.2. Второе косое вращение радиальным методом

Эта система отличается от той, которая использовалась при перпендикулярном вращении. В чем это различие? Оси, соответствующие факторам, определяемым при помощи факторного анализа и имеющие какое-то психологическое, социологическое или другое значение, являются в принципе линиями, представляющими собой пересечение гиперплоскостей, на что обратил внимание Тэрстоун. Понять это поможет рисунок 9.3, соответствующий трехмерному случаю с тремя перпендикулярными осями Соответствующие гиперплоскости будут определяться парами осей. Например, гиперплоскость а определяется осями гиперплоскость — осями и т. д. Как видим, эти оси действительно лежат на пересечениях гиперплоскостей . Такие взаимно перпендикулярные оси системы координат, которые в то же время являются пересечениями гиперплоскостей, называются исходньми осями.

Эти оси можно рассматривать как представляющие истинные психологические факторы.

Теперь необходимо отметить, что в перпендикулярной системе исходные оси являются одновременно нормалями к гиперплоскостям. Например, ось представляет собой нормаль к гиперплоскости у, ось — к гиперплоскости Р и т. д. Иначе в случае косого вращения, в котором гиперплоскости наклонены друг к другу под различными углами, отличающимися от прямого. Поскольку нормали продолжают и далее оставаться перпендикулярными к своим гиперплоскостям, что вытекает из их определения, они не будут совпадать с линиями пересечения плоскостей. Эту ситуацию иллюстрирует рисунок 9.4. Оси — это пересечение гиперплоскостей оси — нормали к соответствующим гиперплоскостям. Как видим, оси несколько отклоняются от исходных осей причем это отклонение зависит от степени корреляции между гиперплоскостями.

Факторные нагрузки, определенные методом косого вращения, являются проекциями векторов соответствующих переменных на нормали гиперплоскостей, образующих систему координат, а не на исходные оси. В результате факторные нагрузки, определенные методом косого вращения, не отражают, строго говоря, корреляцию данной переменной с фактором, которому придается какое-то психологическое значение. Очевидно, что часто корреляции между гиперплоскостями незначительны и в связи с этим незначительны также отклонения нормалей от исходных осей. Поэтому практически можно считать, что разница между факторными нагрузками, определенными на основе нормалей и на основе исходных осей, настолько незначительна, что ею можно пренебречь. Факторную матрицу, вычисленную при помощи методов косого вращения, можно трактовать поэтому так же, как матрицу, рассчитанную путем перпендикулярного вращения. Если, однако, в некоторых случаях речь идет об определении точных значений факторных нагрузок, т. е. о проекциях вектора данной переменной на исходную ось, соответствующую какому-нибудь психологическому или социологическому фактору, нужно путем некоторых перерасчетов преобразовать матрицу косоугольных факторов в такую матрицу, которая включает точные величины корреляции переменных с исходными осями.

Рис. 9.3

Рис. 9.4

Методы такого пересчета очень кропотливы и трудоемки, и мы не будем их здесь рассматривать. Однако для случаев с небольшим числом факторов существует прямой метод определения точных факторных нагрузок в процессе косого вращения, разработанный Харрисом. Учитывая рамки данной работы, мы не будем его рассматривать. Заинтересованный читатель может найти его изложение в более фундаментальных работах по факторному анализу (см., например, [101]).