Научная библиотека

4. Неравенства для модуля суммы и модуля разности двух комплексных чисел.

Имеют место следующие неравенства:

Эти неравенства удобны для оценивания модуля суммы и модуля разности комплексных чисел, т. е. для указания границ их изменения, если известны границы для модулей слагаемых. Неравенства а) и b) применяются для оценивания сверху, неравенства с) и d) дают оценки снизу.

Докажем прежде всего неравенству а).

Пусть (здесь ). Тогда , откуда

Но . Поэтому откуда в силу положительности заключаем, что что и требовалось доказать.

Для доказательства неравенства b) заметим прежде всего, что Действительно, компоненты чисел отличаются только знаками, и суммы квадратов компонент одинаковы. Далее, что и требовалось доказать.

Для доказательства неравенства с) применим неравенство . Получим: , откуда

Наконец чем Доказано неравенство

Все доказанные неравенства имеют ясное геометрическое истолкование (рис. 5). Если точки, изображающие , не лежат на одной прямой, то треугольник с вершинами имеет длины сторон

Из известных «неравенств треугольника» — сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности — получаем неравенства а) и b) (даже без включения равенства, что обеспечивается сделанным предположением о невырожденности треугольника . Неравенства с) и d) становятся очевидными при Взгляде на треугольник с вершинами в точках . Длины двух его сторон равны длина третьей стороны равна длине радиус-вектора точки , т. е. равна . Применение неравенства треугольника приводит к неравенствам с) и d), снова без знаков равенства, которые могут появиться в случае вырождения треугольника в отрезок. При доказательстве неравенств с) и d) мы отметили одно обстоятельство, интересное само по себе: модуль разности двух Комплексных чисел равен расстоянию между точками, изображающими эти комплексные числа.

Неравенства с) и d) иногда полезны в слегка усиленной формулировке

Их справедливость почти очевидна. Действительно, Правые части отличаются знаком и, выбрав из них положительную, придем к неравенству с). Неравенство d) следует из с) после замены на .

Неравенство а) очевидным образом обобщается на сумму нескольких слагаемых:

Рис. 5.

Из неравенства b) и обобщенного неравенства а) следует

Это неравенство можно рассматривать как обобщение неравенства b). Оно удобно для оценивания снизу суммы, в которой модуль одного слагаемого больше суммы модулей остальных