Научная библиотека

ГЛАВА IV. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

§ 1. Матрицы и действия над ними

1. Определение матрицы.

Матрицей называется прямоугольная таблица, заполненная некоторыми математическими объектами. По большей части мы будем рассматривать матрицы с элементами из некоторого поля, хотя многие предложения сохраняют силу, если в качестве элементов матриц рассматривать элементы ассоциативного (не обязательно коммутативного) кольца.

Чаще всего элементы матрицы обозначаются одной буквой двумя индексами, указывающими «адрес» элемента — первый йндекс дает номер строки, содержащей элемент, второй — номер столбца. Таким образом, матрица (размеров ) записывается в форме

Матрицы, вставленные из чисел, естественно возникают при рассмотрении систем линейных уравнений

Входные данные для этой задачи — это множество коэффициентов, естественно составляющих матрицу

и совокупность свободных членов, образующих матрицу , умеющую лишь один столбец. Искомым является набор значений неизвестных, который, как оказывается, удобно представлять тоже в виде матрицы состоящей из одного столбца.

Важную роль играют так называемые диагональные матрицы. Под этим названием подразумеваются квадратные матрицы, имеющие все элементы равными нулю, кроме элементов главной диагонали, т. е. элементов в позициях

Диагональная матрица D с диагональными элементами обозначается

Матрица, составленная из элементов, находящихся на пересечениях нескольких выбранных строк матрицы А и нескольких выбранных столбцов, называется субматрицей для матрицы А. Если — номера выбранных строк и — номера выбранных столбцов, то соответствующая субматрица есть

В частности, строки и столбцы матрицы можно рассматривать как ее субматрицы.

Матрицы связаны естественным образом с линейной подстановкой (линейным преобразованием) переменных. Под этим названием понимается переход от исходной системы переменных к другой, новой, связанных по формулам

Линейная подстановка переменных задается посредством матрицы коэффициентов

Среди систем линейных уравнений наибольшее значение имеют системы, в которых число уравнений равно числу неизвестных. Среди линейных подстановок переменных основную роль играют подстановки, в которых число исходных и новых переменных одинаково. В этих ситуациях матрица коэффициентов оказывается квадратной, т. е. имеющей одинаковое число строк и столбцов; это число называется порядком квадратной матрицы.

Вместо того чтобы говорить «матрица, состоящая из одной строки», и «матрица, состоящая из одного столбца», говорят короче: строка, столбец.