2. Линейные комбинации, линейная зависимость и линейная независимость.

Линейной комбинацией векторов из называется вектор стит при . Ясно, что линейной комбинацией линейных комбинаций векторов является снова линейная комбинация этих векторов.

Совокупность векторов называется линейно независимой, если равенство стит возможно только при . Если же существуют не равные одновременно нулю си такие, что стит — 0, то совокупность векторов называется линейно зависимой. Определения эти совпадают с определениями, данными на стр. 108 в применении к строкам.

Предложение 1. Совокупность векторов линейно зависима в том и только в том случае, когда один из векторов является линейной комбинацией остальных.

Предложение 2. Если совокупность векторов линейно независима, а совокупность линейно зависима, то вектор есть линейная комбинация векторов

Предложение 3. Если векторы являются линейными комбинациями векторов , то совокупность линейно зависима.

Доказательства этих предложений ничем не отличаются от доказательств аналогичных предложений для строк (стр. 108—110).

Совокупность векторов называется порождающей, если все векторы пространства являются их линейными комбинациями. Если для пространства S существует конечная порождающая система, то пространство называется конечномерным, в противном случае — бесконечномерным. В конечномерном пространстве не могут существовать сколь угодно большие (по числу векторов) линейно независимые совокупности векторов, ибо, согласно предложению 3, любая совокупность векторов, превосходящая по числу векторов порождающую совокупность, линейно зависима.

Пространство матриц фиксированных размеров и, в частности, пространство строк фиксированной длины конечномерны, в качестве порождающей системы можно взять матрицы с единицей на одной позиции и с нулями на остальных.

Пространство всех полиномов от уже бесконечномерно, ибо совокупность полиномов линейно независима при любом .

В дальнейшем будем рассматривать конечномерные пространства.

Предл ожение 4. Любая минимальная (по числу векторов) порождающая совокупность векторов линейно независима.

Действительно, пусть — минимальная порождающая совокупность векторов. Если она линейно зависима, то один из векторов, скажем есть линейная комбинация остальных и всякая линейная комбинация есть линейная комбинация меньшей совокупности векторов которая тем самым оказывается порождающей.

Предложение 5. Любая максимальная (по числу векторов) линейно независимая совокупность векторов является порождающей.

Действительно, пусть — максимальная линейно независимая совокупность и u — любой вектор пространства. Тогда совокупность и не будет линейно независимой, и, в силу предложения 2, вектор и есть линейная комбинация

Предложение 6. Любая линейно независимая порождающая совокупность является минимальной среди порождающих и максимальной среди линейно независимых.

Действительно, пусть — линейно независимая порождающая совокупность векторов. Если — какая-то другая порождающая совокупность, то являются линейными комбинациями и отсюда заключаем, что , ибо если было бы то, в силу предложения была бы линейно зависимой совокупностью. Пусть теперь — какая-либо линейно независимая совокупность. Векторы являются линейными комбинациями векторов и, следовательно, ибо при в силу того же предложения составляли бы линейно зависимую совокупность.

Таким образом, в предложениях 4, 5, 6 устанавливается тождественность трех понятий — минимальная порождающая совокупность векторов, максимальная линейно независимая совокупность векторов и линейно независимая порождающая совокупность.

Совокупность векторов, удовлетворяющая этим условиям, называется базисом пространства, а число векторов, составляющих базис, называется размерностью пространства. Размерность пространства S обозначается . Таким образом, размерность равна максимальному числу линейно независимых векторов (мы часто в дальнейшем будем говорить слова «линейно независимые» и «линейно зависимые векторы» вместо того, чтобы сказать «векторы, составляющие линейно зависимую совокупность» и — соответственно для линейно независимой совокупности) и минимальному числу порождающих векторов.

Предложение 7. Пусть — линейно независимая совокупность векторов, причем их число меньше размерности пространства. Тогда к ним можно присоединить вектор так, что совокупность останется линейно независимой.

Доказательство. Рассмотрим множество линейных комбинаций . Оно не исчерпывает всего пространства, ибо не составляют порождающую совокупность векторов. Возьмем вектор, не являющийся линейной комбинацией

Тогда — линейно независимая совокупность, так как иначе был бы линейной комбинацией векторов в силу предложения 2.

Из предложения 7 следует, что любую линейно независимую совокупность векторов можно дополнить до базиса.

Это же предложение и его доказательство указывают на характер произвола в выборе базиса. Действительно, если взять произвольной ненулевой вектор, то его можно достраивать до базиса, взяв второй вектор как угодно, только не линейную комбинацию первого, третий как угодно, только не линейную комбинацию первых двух, и т. д.

К базису можно «спуститься», исходя из произвольной порождающей совокупности.

Предложение 8. Любая порождающая совокупность векторов содержит базис.

Действительно, пусть — порождающая совокупность векторов. Если она линейно зависима, то один из ее векторов есть линейная комбинация остальных, и его можно исключить из порождающей совокупности. Если оставшиеся векторы линейно зависимы, то можно исключить еще один вектор, и т. д., до тех пор пока не останется линейно независимая порождающая совокупность, т. е. базис.