8. Разложение примарного пространства в прямую сумму циклических примарных подпространств.

Теорема 10. Примарное пространство может быть представлено в виде прямой суммы циклических примарных подпространств.

Доказательство. Применим метод математической индукции по размерности пространства. За базу для индукции можно принять примарные циклические пространства.

Сделаем индуктивное предположение о том, что для примарных пространств, размерность которых меньше размерности рассматриваемого пространства , теорема верна.

Пусть минимальный полином равен . Тогда все элементы пространства аннулируются делителями этого полинома, т. е. степенями с показателями, не превосходящими m. При этом найдется элемент, аннулируемый полиномом и не аннулируемый полиномом иначе все векторы аннулировались бы полиномом что противоречит минимальности полинома Пусть — такой вектор и — циклическое подпространство, порожденное вектором . Если то теорема для пространства S доказана. Пусть Рассмотрим факторпространство . Его векторы, очевидно, аннулируются полиномом так что примерно и имеет размерность, меньшую чем . Поэтому к можно применить индуктивное предположение. Пусть

(черточки сверху букв обозначают, как обычно, что рассматриваются объекты, составляющие факторпространство), — векторы из порождающие — аннуляторы векторов . Ясно, что при всех i. Покажем, что в классах можно найти элементы минимальными аннуляторами которых будут те же

Действительно, пусть и, — какой-либо вектор из Тогда так что их, где F — некоторый полином. Но аннулирует все векторы в , так что . Следовательно, полином делится на и поэтому F делится на . Пусть так что откуда при . Ясно, что так что . Заметим, что полиномы аннулируют векторы одновременно, так как их минимальные аннуляторы совпадают. Аналогичным образом выбираются Пусть — циклические подпространства, порожденные векторами Так как и если , то и обратно (здесь — любые полиномы), векторы пространства входят по одному во все классы, составляющие и нулевой класс представляет нулевой вектор. Аналогичным образом обстоит дело с пространствами

Сумма пространств равна пространству S, ибо любой вектор из S сравним по с вектором из . Сумма эта прямая, ибо если при , то откуда равны нулю, ибо есть прямая сумма . Но тогда и, наконец, . Теорема доказана.