§ 4. Тензорные произведения векторных пространств

1. Определение тензорного произведения.

Пусть и Т — два векторных пространства над полем К. Рассмотрим пары векторов при и их формальные суммы

Введем следующие эквивалентности:

Две формальные суммы пар будем считать эквивалентными, если от одной к другой можно перейти посредством конечного числа эквивалентностей 1), 2), 3).

Класс эквивалентности, содержащий сумму пар , будем обозначать

На множестве формальных сумм пар введем структуру векторного пространства, положив

и

При бесконечном поле К это пространство, очевидно, бесконечномерно. Ясно, что если две суммы пар эквивалентны, то они останутся эквивалентными после умножения на а. Если первая сумма пар эквивалентна второй и третья эквивалентна четвертой, то сумма первой и третьей эквивалентна сумме второй и четвертой. Поэтому структура векторного пространства может быть перенесена на множество классов эквивалентных сумм пар. Получившееся векторное пространство называется тензорным произведением пространств S и Т и обозначается .

2. Базис и размерность тензорного произведения.

Пусть — базис пространства S и базис пространства Т. Тогда, в силу эквивалентности 2) и определения произведения пары на элемент поля К, любая сумма пар эквивалентна сумме при некоторых и . Далее, в силу эквивалентностей 3) и 1), такая сумма эквивалентна сумме

Таким образом, векторы , порождают пространство .

Докажем, что они линейно независимы. Пусть — базисы сопряженных пространств S и Т, дуальные к выбранным базисам пространств S и Т. Рассмотрим пары и определим их действие как линейных функций на пространстве сумм пар по формуле

Линейность этой функции на пространстве сумм пар очевидна.

Покажем, что эта функция принимает одинаковые значения на эквивалентных суммах пар. Это достаточно проверить для эквивалентностей 1), 2), 3). Получаем

Проверка для эквивалентности 3) аналогична. Таким образом, функция определена на классах эквивалентных пар как линейная функция.

Допустим теперь, что имеется зависимость

Применим к этому равенству функцию . Ясно, что ее значения на всех произведениях базисных векторов, кроме равны нулю, а значение на равно 1. Поэтому при всех i и . Таким образом, элементы составляют базис пространства причем размерность этого пространства равна

3. Тензорное произведение нескольких пространств.

Тензорное произведение нескольких пространств вводится аналогично тензорному произведению двух пространств. Рассматриваются наборы компонент при и их формальные суммы. Вводятся действия сложения (формально) и умножения на элементы основного поля, посредством присоединения множителя к первой компоненте. Множество таких формальных сумм становится векторным пространством (бесконечномерным при бесконечном основном поле). Вводятся эквивалентности

Две формальные суммы рассматриваемых наборов считаются эквивалентными, если от одной из них можно перейти к другой посредством конечного числа эквивалентностей вида 1), 2). Структура векторного пространства формальных сумм наборов компонент переносится на множество классов эквивалентности. Получившееся пространство называется тензорным произведением пространств . Класс, содержащий набор обозначается . Тензорные произведения базисов пространств составляют базис . Это доказывается аналогично подробно разобранному выше случаю Поэтому размерность тензорного произведения пространств равна произведению размерностей этих пространств.

4. Инвариантное определение тензора.

Сейчас мы дадим определение тензора, отличное от данного в § 1, но, разумеется, тесно

Пусть дано векторное пространство S и сопряженное с ним пространство S. Элементы тензорного произведения экземпляров S и k экземпляров называются раз контравариантными и k раз ковариантными тензорами. Если выбран базис пространства и дуальный с ним базис пространства S, то тензоры представляются в виде

Из формул преобразования координат следует, что набор коэффициентов составляет k раз ковариантный и раз контравариантный тензор в смысле определения, данного в § 1.

Данное здесь определение тензора хорошо своей инвариантностью, в его формулировке никак не участвует выбор базиса пространства. Однако в приложениях тензоров чаще оказывается более удобным определение через компоненты и формулы преобразования.

5. Действия над тензорами в свете инвариантного определения.

Действия сложения и умножения на скаляры совпадают с одноименными действиями в пространстве тензоров данного типа. Действие умножения тензоров равносильно их тензорному умножению как векторов в своих пространствах. Это с очевидностью следует из представления тензоров через базис:

Операция свертки заключается в том, что в каждом слагаемом суммы тензорных произведений

выбираются одинаково для всех слагаемых один ковектор и один вектор они выбрасываются, но при этом появляется в качестве множителя значение ковектора на векторе Инвариантность этой операции легко проследить. Если ее выполнить в записи тензора через базис:

мы получим, что значение на отлично от нуля и равно 1 только при и при фиксированных остальных индексах нужно сложить получившиеся свободные члены, что и сводится к суммированию по компонент т. е. описанная операция свертки в инвариантной форме совпадает со сверткой при задании тензора компонентами.

6. «Прямоугольные» тензоры.

Компоненты тензора полной валентности естественно сопоставляются точкам с целыми координатами от 1 до ( — размерность пространства) в -мерном пространстве. Они образуют как бы -мерно кубическую таблицу, подобно тому, как при полной валентности 2 компоненты располагаются в виде квадратной матрицы. Аналогами прямоугольных матриц могут служить компоненты тензоров, связанных с несколькими пространствами.

Пусть даны пространства над одним и тем же полем . Рассмотрим тензорное произведение нескольких экземпляров и нескольких экземпляров и т. д. Векторы получившегося пространства будут иметь вид

(9)

Здесь индексы принимают значения от 1 до индексы принимают значения от 1 до — базис — дуальный базис — базисы и т. д.

Компоненты при преобразованиях координат в пространствах изменяются по правилам преобразования компонент тензора, только первая группа индексов связана с вторая группа с и т. д. Сложение, умножение на скаляры и умножение тензоров выполняются по тем же правилам, что и для обычных тензоров. Свертка допустима только по нижнему и верхнему индексам из одной группы.