6. Централизатор элемента и нормализатор подгруппы.

В п. 2 мы рассматривали группу G как - операторное множество, полагая, для , т. е. рассматривая действие элементов G как соответствующие им внутренние автоморфизмы. В этой ситуации орбитами являются классы сопряженных элементов, и каждый класс является однородным пространством. Пусть С — некоторый класс сопряженных элементов и . Стабилизатором элемента а является множество всех , обладающих свойством . Таким образом, стабилизатором элемента а является множество всех элементов группы, коммутирующих с а. Это множество образует подгруппу группы G, называемую централизатором элемента а.

В силу п. 3 элементы класса сопряженных с а элементов находятся во взаимно однозначном соответствии с левыми классами смежности группы G по централизатору элемента а. В частности, если класс сопряженных элементов конечен, то число составляющих его элементов равно индексу централизатора любого элемента из этого класса.

Термин «централизатор» элемента а связан с тем, что централизатор а является наибольшей подгруппой, содержащей а в своем центре.

Элементы группы G можно рассматривать как действующие на множестве всех подгрупп группы G в виде соответствующих внутренних автоморфизмов: . В этой ситуации орбитами будут классы сопряженных подгрупп. Стабилизатором для подгруппы является множество всех таких что . Этот стабилизатор носит название нормализатора группы , ибо он является максимальной подгруппой, для которой является нормальной подгруппой. Отсюда следует, что между сопряженными с группой Я подгруппами и левыми классами смежности группы G по нормализатору имеется взаимно однозначное соответствие, осуществляющее изоморфизм между однородными пространствами, состоящими из сопряженных с подгрупп, и классами смежности по нормализатору.