§ 2. Распределение корней на плоскости комплексной переменной

1. Аргумент комплексного числа, изображение которого двигается по непрерывной линии.

В этом параграфе мы несколько отступим от того уровня математической строгости, который принят в учебной математической литературе, и позволим себе чуть больше «верить своим глазам», прибегая к наглядным геометрическим представлениям.

Рис. 9.

Пусть комплексная переменная z меняется так, что ее изображение непрерывно двигается по некоторой непрерывной линии, не проходящей через начало координат. Это значит, что есть непрерывная функция от вещественного параметра t, меняющегося в замкнутом промежутке а t b, причем при всех значениях t. Тогда радиус-вектор точки будет непрерывно поворачиваться вокруг начала координат, изменяясь по длине, но ни разу не сжимаясь в точку, и угол, который он образует с вещественной осью, т. е. можно считать тоже изменяющимся непрерывно (рис. 9). Таким образом, выбрав каким-либо способом значение аргумента числа в начале пути, можно выбрать значения аргумента при всех t так, чтобы в целом функция оказалась непрерывной функцией параметра t.

Читатель, несколько искушенный в началах математического анализа, в состоянии дать более строгое доказательство этого утверждения, например по такой схеме. Пусть Тогда ибо непрерывная функция на замкнутом промежутке достигает своей нижней грани. В силу равномерной непрерывности непрерывной на функции, можно разбить промежуток на конечное число интервалов так, что в пределах каждого из них колебание компонент функции не превосходит . Тогда на каждом таком интервале изменяется не более чем в двух смежных координатных квадрантах, и здесь справедливость утверждения очевидна. Остается согласовать выбор аргумента на границах интервалов.)

Предположение о том, что не обращается в нуль, существенно. Так, например, пусть при При аргумент будет равен нечетному кратному , а при — четному кратному. Выбор значений аргумента здесь нельзя так согласовать, чтобы сохранить непрерывность при

Пусть теперь имеется несколько непрерывных комплексных функций от вещественной переменной каждая из которых не обращается в нуль ни в какой точке данного промежутка. Тогда их произведение тоже непрерывная функция, не обращающаяся в нуль на этом промежутке. Выберем значения аргументов при так, чтобы аргумент был равен сумме аргументов (а не отличался от нее на четное кратное ). Тогда, при непрерывном, изменении аргументов, равенство сохранится при всех . Действительно, разность может принимать лишь значения 0 и четные кратные , причем равна 0 при . Но, будучи непрерывной функцией, она не может изменяться скачками и потому остается равной нулю при всех

Рис. 10.

Пусть теперь линия, по которой двигается z, замкнута. Это значит, по-прежнему, что - непрерывная функция от вещественной переменной

В этом случае, при непрерывном изменении аргумента, мы можем получить при значение аргумента, отличное от значения при t — а. Разность значений аргумента может равняться только целому кратному числа Коэффициент k имеет ясный геометрический смысл. Он равен числу полных оборотов вокруг начала координат радиус-вектора точки при обходе этой точкой линии в направлении возрастания параметра t, с учетом знака в соответствии с направлением обхода.

Так, для приращения аргумента на рис. 10 при указанном направлении обхода при противоположном