Главная > Математика > Лекции по алгебре
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Дискриминант полинома.

Дискриминант полинома, говоря неформально, есть полином от его коэффициентов, обращение в нуль которого является необходимым и достаточным условием существования кратного корня. В качестве полинома от корней, обращающегося в нуль при наличии кратного корня, естественно взять произведение всевозможных разностей корней или, что то же самое, определитель Вандермонда от корней. Но этот полином не симметрический, он меняет знак при нечетных подстановках корней. Его квадрат будет уже симметрическим полиномом. Буква входит в высший член этого полинома с показателем . Поэтому является полиномом от коэффициентов полинома если вместо букв подставить корни полинома. Этот полином и называется дискриминантом полинома

Подсчитаем дискриминант для и . При будет гак что мы получили хорошо известный дискриминант квадратного трехчлена.

При имеем . Этот симметрический полином мы выразили через основные в качестве последнего примера в п. 4 § 1. Было получено:

Подставив вместо корни полинома , получим

откуда

Для полинома будет

так что дискриминант в этом случае лишь множителем отличается от выражения, находящегося под знаком квадратного корня в формуле Кардано.

Дискриминанты полиномов более высокой степени имеют, при явном выражении через коэффициенты, очень сложный вид. Однако существуют представления дискриминанта в виде определителя. Одно, самое простое в теоретическом плане, представление получается так:

Воспользовавшись тем, что произведение определителей равно определителю произведения их матриц, получим:

где s — сумма степеней корней.

Существуют более удобные для вычислений представления дискриминанта в виде определителя, но мы не будем на этом останавливаться.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление