ГЛАВА III. ПРОСТЕЙШИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АЛГЕБРЕ ПОЛИНОМОВ

§ 1. Полиномы от одной буквы

1. Определение.

В школьной алгебре одночленом от некоторой буквы называется алгебраическое выражение вида , где а — некоторое число, — буква, m — целое неотрицательное число. Одночлен отождествляется с числом а, так что числа рассматриваются как одночлены. Далее, одночлены называются подобными, если показатели при букве одинаковы. Подобные одночлены складываются по правилу называемому приведением подобных членов. Многочленом или полиномом называется алгебраическая сумма одночленов. В полиноме порядок слагаемых безразличен и подобные одночлены можно соединить, согласно приведению подобных членов. Поэтому любой полином можно записать в канонической форме с расположением членов в порядке убывания показателей. Иногда оказывается удобным записывать члены полинома в порядке возрастания показателей.

Буква обычно обозначает произвольное число. Иногда считается переменной, тогда полином задает функцию от называемую целой рациональной функцией.

Два полинома называются формально равными, если они, в канонической записи, составлены из одинаковых одночленов. Ясно, что формально равные полиномы равны тождественно, т. е. принимают одинаковые значения при каждом значении буквы . Верно и обратное утверждение: если два полинома равны тождественно, то они равны формально — но это совсем не очевидно и требует доказательства, которое будет дано в п. 7.

Наша ближайшая задача состоит в том, чтобы несколько расширить понятие полинома. Пусть А — некоторое коммутативное-ассоциативное кольцо с единицей, и пусть — буква, посторонняя для кольца А. Одночленом от буквы с коэффициентом из А называется выражение , где — целое неотрицательное число. Считается, что так что элементы кольца А являются одночленами частного вида. Выражение рассматривается формально — как «картинка», изображенная на бумаге. Для одночленов естественным образом определяются действие приведения подобных членов и действия умножения

«Картинка», состоящая из нескольких одночленов, соединенных знаком называется многочленом или полиномом от с коэффициентами из А. Предполагается, что порядок следования одночленов безразличен, подобные одночлены можно соединять, а также вставлять и выбрасывать одночлены с нулевыми коэффициентами. Без нарушения общности можно считать полином записанным в канонической форме (т. е. в порядке убывания степеней) или в порядке возрастания степеней .

Дадим теперь естественные определения равенства полиномов и основных действий над ними.

1. Два полинома считаются равными, если они составлены в канонической записи из одинаковых одночленов, т. е.

в том и только в том случае, если (снова «формальное» равенство).

2. Суммой двух полиномов называется полином, получающийся посредством объединения одночленов, составляющих слагаемые.

Разумеется, после объединения следует привести подобные члены. Таким образом,

3. Произведением двух полиномов называется полином, составленный из произведений всех членов первого сомножителя на все члены второго.

Здесь снова возможно приведение подобных членов. Таким образом,

Коэффициент при равен если условиться считать, что при при

Множество полиномов от буквы с коэффициентами из кольца А составляет; как легко проверить, кольцо по отношению к определённым выше действиям сложения и умножения. Кольцо это коммутативно и ассоциативно. Оно называется кольцом полиномов от буквы над кольцом А и обозначается . Роль нуля в этом кольце играет нулевой полином, т. е. нуль кольца А, рассматриваемый как полином, не содержащий одночленов с ненулевыми коэффициентами. Роль единицы играет единица кольца А.

В данном выше определении одночлена и полинома имеется одно сомнительное место. Именно, было сказано, что есть буква, посторонняя для кольца А, и не было объяснено, что это значит.

Сказать, что не принадлежит кольцу А — это сказать слишком мало, так как при этом не исключаются нежелательные возможности или и т. д. Однако мы в состоянии избавиться от «сомнительной» буквы подобно тому, как избавились от символа i в обосновании комплексных чисел. Обратим внимание на те действия над коэффициентами полиномов, которые должны выполняться при действиях над самими полиномами. Опишем эти действия, исходя из расположения полиномов по возрастающим степеням буквы. Именно, вместо полиномов рассмотрим бесконечные последовательности элементов кольца А, в которых все элементы, начиная с некоторого, равны нулю. Вводим теперь определения равенства и основных действий.

1. тогда и только тогда, когда

II.

Ясно, что требование об обращении в нуль всех членов, начиная с некоторого, сохраняется при сложении.

III.

Здесь тоже сохраняется требование об обращении в нуль всех членов, начиная с некоторого места.

Легко проверяется коммутативность и ассоциативность сложения и умножения и дистрибутивность умножения со сложением. Далее, ясно, что и, более общо,

IV. отождествляется с последовательностью

Легко проверяется, что аксиома IV не находится в противоречии с первыми тремя.

Рассмотрим теперь последовательность , обозначив ее буквой . Тогда и т. д. Поэтому

Таким образом, нам удалось построить элементы кольца полиномов.