2. Кольца и поля.

Кольцом называется множество математических объектов, в котором определены два действия — «сложение» и «умножение», сопоставляющие упорядоченным парам элементов их «сумму» и «произведение», являющиеся элементами того же множества. Предполагается, что действия удовлетворяют следующим требованиям:

1. (ассоциативность сложения).

2. (коммутативность сложения).

3. Существует нулевой элемент 0 такой, что а при любом а.

4. Для каждого а существует противоположный —а такой, что а

5.

5'.

(левая и правая дистрибутивность).

Первые четыре требования обозначают, что элементы кольца образуют абелеву группу относительно сложения, которая называется аддитивной группой кольца.

Выведем простейшие следствия из поставленных требований.

Предложение 1. Если , то

Действительно, пусть . Тогда . Воспользовавшись ассоциативностью, получим и, следовательно,

Предложение 2. При данных а и b уравнение имеет единственное решение

Действительно, если а то Обратно, если то .

Из предложения 2 следует единственность нуля и противоположного элемента, ибо 0 есть решение уравнения есть решение уравнения

Предложения 1 и 2 верны для любой абелевой группы, а не только для аддитивной группы кольца.

Предложение при любом а.

Действительно, и, в силу предложения

В общем определении кольца на действие умножения не накладывается никаких ограничений кроме дистрибутивности со сложением. Однако чаще всего возникает необходимость рассматривать кольца, в которых умножение удовлетворяет тем или другим дополнительным естественным требованиям.

Наиболее употребимыми являются:

6. ) (ассоциативность умножения).

При выполнении этого требования элементы кольца образуют полугруппу относительно умножения.

7. (коммутативность умножения).

8. Существование единичного элемента (т. е. такого, что для любого элемента а).

9. Существование обратного элемента для любого элемента а, отличного от 0.

В конкретных кольцах эти требования могут выполняться как порознь, так и вместе в различных комбинациях. Кольцо называется ассоциативным, если в нем выполнено условие 6, коммутативным, если выполнено условие 7, коммутативным и ассоциативным, если выполнены условия 6 и 7. Если выполнено условие 8, говорят о кольце с единицей, снабжая слово «кольцо» прилагательным в зависимости от выполнения условий 6 и 7.

Если в кольце есть единица, то она единственна. Действительно, если 1 и 1 — две единицы, то так как 1 — единица, и , так как 1 — единица, поэтому

Кольцо называется областью целостности, если из равенства таб следует, что хотя бы один из сомножителей а или b равен 0.

Полем называется коммутативное ассоциативное кольцо с единицей, в котором каждый отличный от нуля элемент а имеет обратный

Иными словами, поле есть кольцо, в котором отличные от нуля элементы образуют коммутативную группу. Эта группа носит название мультипликативной группы поля.

Любое поле есть область целостности. Действительно, если , то и, следовательно, .

Существуют поля, в которых некоторое целое кратное 1, т. е. равно нулю. Наименьшее натуральное число, обладающее этим свойством, называется характеристик кой поля. Характеристика поля всегда равна простому числу. Действительно, если при , то , откуда или так что не наименьшее натуральное. Поле вычетов по простому модулю имеет, очевидно, характеристику .

Если же любое кратное единицы отлично от нуля, то говорят, что характеристика поля равна 0.

Приведем теперь примеры. Множество Z всех целых чисел образует кольцо, коммутативное, ассоциативное и с единицей. Оно является областью целостности, но не полем. Полями являются множество Q всех рациональных чисел и множество. R всех вещественных чисел.

Классы по модулю m образуют коммутативное ассоциативное кольцо с единицей. Оно называется кольцом вычетов по модулю . Если m — составное число, то это кольцо не будет областью целостности Действительно, , то , но . Если же есть простое число, то кольцо вычетов по нему есть не только область целостности, но даже поле. Действительно, предложение 7 § 2 утверждает, что все классы по модулю , кроме нулевого, обратимы. В частности, кольцо по модулю 2, состоящее всего-навсего из двух элементов 0 и 1 (классы четных и нечетных чисел), является полем. Это поле, несмотря на свою крайнюю простоту, оказывается важным для некоторых приложений.

Все правила и формулы элементарной алгебры, включая теорию уравнений, полностью сохраняются, если под буквами понимать элементы любого поля, так как в основе этих правил и формул лежат свойства действий и возможность деления, кроме деления на нуль.

Пример. Решить уравнение в поле вычетов по модулю 11.

Применим обычную формулу решения квадратного уравнения

В этом примере квадратный корень благополучно извлекся. Могло бы случиться и так, что элемент, находящийся под знаком квадратного корня, не является квадратом какого-либо элемента поля. Это означало бы, что данное квадратное уравнение не имеет корней в исходном поле.