§ 2. Производная

1. Определение производной и формулы для ее вычисления.

Введем понятие производной от полинома . Для полиномов над любым полем обычное понятие производной как предела отношения приращений, не, работает, ибо понятие предела, например, для конечных полей не имеет смысла. Определим производную формально. Именно, производной от полинома

называется полином

Производная обладает следующими свойствами.

1. , с — константа.

Эти свойства непосредственно следуют из определения.

Это свойство докажем в три приема.

a) , так что . Тогда

b) Здесь . В силу свойств 3, 4 и случая а)

Объединяя нечетные и четные слагаемые, получим

Тогда и, в силу свойств 3, 4 и случая b),

Доказывается индукцией на основании свойства 5.

Следует из свойства 6, достаточно положить

Производная от производной называется второй производной, производная от второй производной называется третьей производной и т. д. Легко убедиться в том, что производная от производной равна производной исходного полинома.