§ 4. Линейные отображения векторных пространств

1. Ядро и образ при линейном отображении.

Линейным отображением или линейным оператором векторного пространства S в векторное пространство Т называется функция определенная на S со значениями в Т, удовлетворяющая требованию линейности

Линейные отображения будем записывать рукописными прописными буквами перед обозначением вектора, опуская скобки.

Пусть и в пространствах S и Т выбраны базисы Пусть, далее, — линейное отображение из S в Т. Ясно, что значения вполне определяются значениями на базисе ей ибо, в силу линейности, Обозначим через столбцы из координат векторов в базисе к буквой А — матрицу, составленную из этих столбцов:

Тогда координаты вектора выражаются по формулам

через координаты вектора или, в матричных обозначениях,

где через Х и Y обозначены столбцы из координат векторов х и у.

Матрица А называется матрицей отображения

Ядром отображения называется множество всех векторов из S, отображаемых в 0 пространства Т.

Образом или отображения называется множество векторов при . Ясно, что ядро и образ являются подпространствами, соответственно, пространств S и Т.

Векторы из S, сравнимые по , т. е. отличающиеся слагаемым из , имеют, очевидно, одинаковые образы в Т. Обратно, если , то и z сравнимы по Следовательно, между векторами образа оператора и элементами факторпространства имеется взаимно однозначное соответствие. Это соответствие, очевидно, сохраняет линейные комбинации, так что пространство изоморфно факторпространству Следовательно,

2. Изменение матрицы оператора при преобразовании координат в пространствах S и Т.

Пусть в пространствах S и Т базисы заменены на базисы

Соответствующие этим заменам матрицы преобразования координат обозначим через С и столбцы из координат векторов в исходных базисах обозначим через X и Y, в преобразованных — соответственно, X и Y. Матрицу оператора обозначим А. Тогда так Следовательно, Поэтому матрицей оператора по отношению к новым базисам является матрица

3. Каноническая форма матрицы линейного отображения.

Прежде всего заметим, что размерность образа равна максимальному числу линейно независимых векторов в порождающей это пространство совокупности векторов , т. е. равна максимальному числу линейно независимых столбцов матрицы А оператора Таким образом, где — ранг матрицы А.

В силу соотношения между размерностями ядра и образа, отсюда следует, что

Пусть — какой-либо базис S относительно Тогда векторы образуют базис Действительно, эта совокупность векторов порождает ибо любой вектор из S есть линейная комбинация , с точностью до слагаемого из и поэтому любой вектор из есть линейная комбинация Вместе с тем векторы линейно независимы, ибо из следует откуда в силу определения относительного базиса.

Пусть — какой-либо базис Тогда можно принять за базис пространства S. В пространстве Т линейно независимую совокупность дополним каким-либо образом до базиса Т. Обозначим и через — какие-либо векторы, дополняющие до базиса Т.

В выбранных базисах матрица оператора А есть:

Здесь — единичная -матрица, — нулевые матрицы указанных размеров.

Полученному результату можно придать следующую форму на языке теории матриц. Ввиду того, что любую «-матрицу А можно принять за матрицу линейного оператора из -мерного пространства S в -мерное пространство Т, для любой -матрицы можно найти такие невырожденные -матрицу В и -матрицу С, что

где — ранг матрицы А. Это равенство можно переписать и так:

Пусть , где — матрица, состоящая из первых столбцов матрицы В, матрица составлена из остальных столбцов В. Соответственно, пусть где составлена из первых строк матрицы составлена из остальных строк. По правилу умножения матриц, разбитых на клетки, получим

Итак, мы получили, что любая -матрица ранга может быть представлена в виде произведения -матрицы на -матрицу Обе эти матрицы имеют ранг , ибо у матрицы столбцы линейно независимы, а у матрицы — строки.

4. Линейные действия над операторами.

Пусть — линейные операторы, действующие из -мерного пространства S в -мерное пространство Т. Определим линейную комбинацию операторов формулой

Ясно, что по отношению к этому действию операторы образуют векторное пространство. Выбор базисов в S и Т задает изоморфизм пространства операторов и пространства -матриц. Поэтому размерность пространства операторов равна

5. Умножение линейных отображений.

Пусть даны три пространства и даны линейные отображения: отображающее отображающее «Сквозное» отображение , т. е. отображение, действующее на векторы из по формуле называется произведением отображений и Обращаю внимание на то, что первым действующим на оказывается правый множитель, и затем на результат действует левый множитель. Такой порядок обусловлен левой записью: оператор расположен слева от объекта, к которому он применяется.

Пусть в выбраны базисы. Пусть по отношению к этим базисам операторы имеют матрицы , и пусть X — столбец из координат вектора Тогда столбцом из координат вектора будет ВХ и столбцом из координат вектора будет АВХ. Таким образом, произведению операторов соответствует, по отношению к выбранным базисам, произведение матриц.

Ясно, что для умножения операторов и взятия их линейных комбинаций верны соотношения билинейности:

6. Обращение невырожденных линейных отображений.

Линейное отображение пространства S в пространство Т называется невырожденным, если образом является все пространство Т и ядро состоит только из нуля, так что из равенства следует Невырожденное отображение взаимно однозначно, так что существует обратное отображение . Из линейности следует, линейность Действительно, есть такой вектор , что . Пусть . Тогда и, следовательно, ибо ядро состоит только из нуля. Итак, Линейность доказана.

Из определения ясно, что является единичным оператором на S и есть единичный оператор на Т.