Главная > Математика > Лекции по алгебре
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Определитель произведения двух квадратных матриц.

Имеет место следующая замечательная теорема:

Теорема 2. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей сомножителей.

Теорема эта представляет собой глубокое тождество, непосредственная проверка которого требует некоторых усилий даже для Выполним эту проверку. Пусть

Тогда

О непосредственной проверке теоремы даже для страшно подумать. Тем не менее, у нас имеется достаточно сведений об определителях и матрицах для того, чтобы дать краткое косвенное доказательство теоремы.

Доказательство. Пусть А и В — две квадратные матрицы порядка . Рассмотрим матрицу порядка

По теореме об определителе ступенчатой матрицы . Умножим теперь эту матрицу слева на унитреугольную матрицу При этом определитель не изменится. Таким образом,

В последнем определителе поменяем местами первый столбец с второй с (и ) и т. д. Это равносильно перестановке блоков-столбцов. Определитель приобретет множитель Итак,

Применив еще раз теорему об определителе ступенчатой матрицы, получим

что и требовалось доказать.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление