§ 3. Распределение вещественных корней полинома с вещественными коэффициентами

1. Ограничение вещественных корней полинома с вещественными коэффициентами.

Лемма о возрастании модуля (§ 1) дает Средство для ограничения всех корней по модулю сверху. Именно, если для найти такое R, что как только то, очевидно, за пределами круга радиуса R полином не имеет корней, и поэтому все его корни не превосходят R По модулю.

Для вещественных корней полиномов с вещественными коэффициентами можно указать другие оценки, которые иногда оказываются лучше. Приведем одну из них.

Теорема (оценка Маклорена). Пусть причем Если не имеет отрицательных коэффициентов, то отсутствуют положительные корни, так что верхней оценкой для вещественных корней оказывается число 0. Пусть отрицательные коэффициенты имеются, m — номер первого по порядку отрицательного коэффициента и А — максимум модулей отрицательных коэффициентов. Тогда вещественные корни не превосходят

Доказательство. Пусть все коэффициенты неотрицательны и . Тогда , так что не имеет положительных корней. Пусть теперь отрицательные коэффициенты есть и

Имеем: Подчеркнутые слагаемые, если они есть, неотрицательны при , и потому

При будет , следовательно,

Итак, при будет так что все вещественные корни не превосходят что и требовалось доказать.

При помощи оценки корней сверху легко получить и оценку снизу. Для этого достаточно рассмотреть полином

Корни этого полинома равны корням полинома f с обратным знаком, так что из оценки корней его сверху, получим оценку снизу для корней исходного полинома: .

Пример. Найти оценки сверху и снизу для корней полинома

Сверху: .

Снизу: составим имеем

Итак, .

Оценка Маклорена довольно грубая. Имеется много других приемов оценивания вещественных корней полиномов с вещественными коэффициентами. Мы не будем на этом останавливаться.