3. Линейное представление результанта.

Пусть полиномы и g взаимно просты, так что их результант отличен от нуля. Тогда существуют такие полиномы и q, что . Если потребовать, чтобы степени q и были меньше, соответственно, степеней f и g, то такие q и определены однозначно. Положив, как в предыдущем пункте, мы получим для определения коэффициентов систему линейных уравнений с матрицей М и со столбцом в правой состоящим из нулей, кроме последней компоненты, равной 1. По формулам Крамера коэффициенты являются частными от деления первых алгебраических дополнений последней строки определителя матрицы М на , а коэффициенты суть частные от деления на алгебраических дополнений с номерами от до элементов последней строки. Положив получим, что коэффициенты Р и Q будут полиномами от коэффициентов f и g, и имеет место равенство

Ясно, что полином Р равен определителю матрицы, получающейся из матрицы М заменой первых элементов последней строки на , а остальных — на нули. Соответственно, полином Q равен определителю матрицы, получающейся из М заменой первых элементов последней строки на нули, а последующих на .