4. Каноническая форма Жордана матрицы оператора.

Пространство S, в котором действует оператор , однозначно разлагается в прямую сумму корневых подпространств. Взяв в пространстве базис, составленный посредством объединения базисов корневых подпространств, мы придем к квазидиагоналыгой матрице для оператора диагональные блоки которой суть матрицы оператора на корневых подпространствах.

Рассмотрим корневое подпространство, соответствующее собственному значению к. Оператор , где — кратность как корня минимального полинома, аннулирует все векторы рассматриваемого подпространства, т. е. оператор нильпотентен на этом подпространстве.

В каноническом базисе для оператора этот оператор имеет квазидиагональную матрицу с нильпотентными жордановыми блоками вдоль диагонали. В том же базисе оператор будет иметь матрицу, отличающуюся от матрицы оператора тем, что к нулям на главной диагонали прибавится к, ибо единичному оператору соответствует единичная матрица. Таким образом, матрица оператора на рассматриваемом корневом подпространстве есть квазидиагональная матрица, составленная из жордановых блоков

с числом k на главной диагонали. Число блоков с данным равно числу линейно независимых собственных векторов для собственного значения k, ибо каждый собственный вектор оператора есть собственный вектор для оператора М, соответствующий собственному значению к.

Если во всех корневых подпространствах выбрать канонические Фазисы, то в их объединении оператор будет иметь квазидиатональную форму, диагональными блоками которой являются канонические блоки Жордана, отвечающие всем собственным значениям, т. е. каноническую форму Жордана общего вида.

Тем самым мы вновь пришли к результату, полученному в конце предыдущего параграфа из более общих соображений.

На языке матриц теорема о канонической форме означает, что для квадратной матрицы А с элементами из поля существует невырожденная матрица С такая, что есть каноническая матрица Жордана.

Заметим еще, что характеристические полиномы жордановых блоков называются элементарными делителями матрицы . Этот термин связан с другим подходом к рассматриваемому вопросу, основанным на теории матриц над кольцом полиномов . Именно, если построить наибольшие общие делители миноров порядка матрицы мы получим некоторые полиномы . Почти очевидно, что делится на . Их частные называются инвариантными делителями матрицы Примарные множители инвариантных делителей как раз и являются элементарными делителями матрицы Мы не будем на этом останавливаться.