3. Нильпотентный оператор.

Оператор называется нильпотентным, если некоторая его степень есть нулевой оператор. Наименьший показатель степени, обладающей этим свойством, называется показателем нильпотентности. Таким образом, если m есть показатель нильпотентности оператора , то но . Ясно, что минимальный полином для нильпотентного оператора показателя есть . Нильпотентный оператор имеет единственное собственное значение 0. Все векторы пространства являются корневыми. Высоты их не превосходят показателя нильпотентности, и существуют векторы, высота которых равна показателю нильпотентности.

Для дальнейшего удобно считать, что нулевой вектор имеет высоту, равную нулю.

Введем в рассмотрение цепочку вложенных друг в друга инвариантных подпространств:

где подпространство , состоит из векторов, высоты которых не превосходят . По построению, .

Предложение 10. Пусть . Если векторы принадлежат Q, и линейно независимы относительно то векторы принадлежат и линейно независимы относительно

Доказательство. Если , то , так что Допустим, что связаны зависимостью

Это значит, что , так что , т. е.

Следовательно, в силу линейной независимости векторов относительно . Это и требовалось доказать.

Построим теперь базис S следующим образом. Пусть — базис относительно Тогда, в силу предложения 10, векторы принадлежат и линейно независимы относительно Дополним эту совокупность векторов до базиса относительно . Пусть - дополняющая совокупность векторов. Тогда принадлежат и линейно независимы относительно . Дополним их совокупность до базиса относительно Продолжив этот процесс до построения базиса получим следующую совокупность векторов:

(Слева мы выписали названия подпространств, для которых каждая строка векторов образует базис относительно подпространства с меньшим на 1 индексом.)

Выписанная совокупность векторов составляет базис пространства . Действительно, векторы в нижней строке образуют базис . Векторы второй строки снизу образуют базис относительно , так что они вместе с векторами нижней строки составляют базис После присоединения векторов третьей снизу строки получится базис и т. д.

Разобьем теперь построенный базис на «башни», рассматривая вместе векторы , и т. д., расположенные в приведенной схеме на одной вертикали. Общий вид «башни»: при некотором к, причем Подпространство, натянутое на векторы башни, является циклическим, порожденным вектором, находящимся наверху башни. Все пространство есть прямая сумма этих циклических подпространств. Тем самым мы вновь доказали теорему 10 из предыдущего параграфа для нилыютентного оператора.

Построенный базис называется каноническим для пространства с нильпотентным оператором. Хотя в его выборе имеется некоторый произвол, число башен каждой высоты вполне определяется размерностями подпространств

На циклическом пространстве с базисом матрица оператора имеет вид

Такая матрица называется нильпотентным жордановым блоком. Во всем пространстве матрица нильпотентного оператора по отношению к каноническому базису квазидиагональна с жордановыми блоками вдоль диагонали. Число блоков равно числу нижних этажей башен, т. е. числу линейно независимых собственных векторов.

Заметим, что результаты этого пункта сохраняют силу для векторных пространств над любым полем, а не только над полем С комплексных чисел.