§ 6. Обращение квадратных матриц

1. Условие существования обратной матрицы.

Для данной квадратной матрицы А правой обратной называется такая матрица В, что .

Соответственно, матрица С называется левой обратной для А, если . Матрица называется обратной для А, если она одновременно левая и правая обратная.

Теорема 1. Для того чтобы матрица А с элементами из поля имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля.

Доказательство. Необходимость. Пусть для матрицы А существует правая обратная В, так что . Применяя теорему об определителе произведения квадратных матриц, получим: откуда следует, что . То же условие, очевидно, необходимо и для существования левой обратной.

Достаточность. Требование означает, в частности, что произведение строки матрицы А на столбец матрицы равно нулю. Этому свойству, согласно свойствам определителя, удовлетворяет матрица А, транспонированная к матрице, составленной из алгебраических дополнений элементов опредет лителя в их естественном расположении.

Матрица А носит название матрицы, союзной с матрицей А. Легко видеть, что

Действительно, на диагональных позициях оказываются суммы произведений элементов строки на их алгебраические дополнения, каждая такая сумма есть определитель , представленный в виде разложения по элементам строки. На недиагональных позициях оказываются суммы произведений элементов строки на алгебраические дополнения элементов другой строки, а все такие суммы равны нулю.

Применяя те же свойства к столбцам определителя , получим, что

Поэтому, если , то матрица есть правая и левая обратная для матрицы А, т. е. обратная для А. Она обозначается

Заметим еще, что кроме не существует ни правых, ни левых обратных матриц для А. Действительно, если , то но , так что . Аналогично, если , то откуда

Квадратная матрица А, у которой , называется неособенной или невырожденной. В противном случае матрица называется вырожденной.

Для матриц с элементами из коммутативного ассоциативного кольца (не обязательно поля) те же рассуждения дают следующее условие обратимости:

Для того чтобы матрица А с элементами из коммутативного ассоциативного кольца была обратима над тем же кольцом, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы был обратимым в кольце элементом.

Действительно, необходимость следует из равенства

а определитель матрицы с элементами из принадлежит . Для достаточности нужно заметить, что элементы союзной матрицы А принадлежат кольцу и, если обратим в А, то матрица будет обратной, и ее элементы принадлежат .

Например, для целочисленной обратимости матрицы с целыми элементами необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен ±1. Для обратимости матрицы над кольцом полиномов необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был не равной, нулю константой, и т. п.

2. Некоторые свойства обратной матрицы.

1.

Действительно, следовательно, , откуда

2. Если А и В невырожденны, то их произведение АВ тоже невырожденно и т. е. матрица, обратная к произведению, равна произведению обратных, взятых в обратном порядке.

Действительно,

откуда следует, что

3.

Действительно, есть такая единственная матрица, произведение которой на равно Е. Этим свойством обладает А.

4.

Действительно, переходя в равенстве к транспонированным матрицам, получим откуда и следует, что

3. Решение линейных систем с невырожденной матрицей в терминах обратной матрицы.

Пусть дана система линейных уравнений

где А — невырожденная квадратная матрица, — столбец из неизвестных, b — столбец свободных членов.

Допустим, что система имеет решение и уже есть решение, так что — верное равенство. Умножим обе части его на . Получим , откуда Теперь докажем, что действительно есть решение:

Мы находились в условиях теоремы Крамера, и приведенные несколько строк представляют собой доказательство теоремы Крамера. Легко проследить, что то доказательство, которое было приведено, в точности совпадает с данным сейчас, но было осуществлено в развернутой записи. Именно, умножение уравнений системы на алгебраические дополнения и сложение представляло собой не что иное, как умножение слева на союзную матрицу. Вторая часть, проверка, представляла собой подстановку вместо но в развернутой записи. Ясно также, что равенство АЬ есть матричная запись формул Крамера.

Столь же кратко записывается решение матричного уравнения где - невырожденная матрица порядка — неизвестная - матрица, В — данная - матрица. Именно, . Запись равносильна системам линейных уравнений с одной и той же матрицей коэффициентов А, с неизвестными, составляющими столбцы матрицы X, и со свободными членами, составляющими столбцы матрицы В.

4. Обращение ступенчатой матрицы.

Пусть — невырожденная ступенчатая матрица с квадратными блоками А и D. Из невырожденности следует, что Пусть — обратная матрица, разбитая на блоки в соответствии с разбиением исходной матрицы. Из равенства следуют уравнения

Находим из первого уравнения из второго четвертого и, наконец, из третьего Итак,

Аналогично,

5. Вычисление определителя матрицы, разбитой на четыре клетки, и обращение такой матрицы.

Пусть дана матрица с квадратными клетками А и D, причем предполагается, что матрица А невырожденна.

Умножим матрицу слева на матрицу . Получим

Переходя к определителям, получим

и

Матрица называется шуровским дополнением к субматрице А матрицы

Перейдем теперь в равенстве к обратным матрицам. Получим

откуда

Заметим еще, что если А, В, С, D — квадратные матрицы одинакового порядка, то формулу для определителя можно преобразовать к виду

и если А и С коммутируют, то

Аналогично, записав правым множителем, получим

и, если А и В коммутируют,

6. Ортогональные и унитарные матрицы.

Вещественная матрица называется ортогональной, если ее обратная совпадает с транспонированной. В формульной записи: Р ортогональна, если . Запишем это матричное равенство в развернутой форме. Пусть

Тогда

и

На главной диагонали матрицы РРТ находятся суммы квадратов элементов строк матрицы Р. На остальных позициях находятся суммы произведений соответствующих элементов двух различных строк. Поэтому равенство характеризующее ортогональные матрицы, записывается как

Вещественная строка называется нормированной, если сумма квадратов ее элементов равна 1, и две вещественные строки называются ортогональными, если сумма произведений соответствующих элементов равна нулю. Таким образом, условие равносильно тому, что строки матрицы Р нормированны и попарно ортогональны.

Из равенства следует или . Таким образом, из ортогональности матрицы Р следует ортогональность транспонированной с ней матрицы и обратно. Однако развернутая запись равенства РТР полностью отлична от записи РРТ именно, имеет вид нормированности и попарной ортогональности столбцов матрицы Р,

Таким образом, мы получаем нетривиальное обстоятельство - из нормированности и попарной ортогональности строк матрицы следует нормированность и попарная ортогональность ее столбцов.

Отметим некоторые свойства ортогональных матриц.

1. Ортогональность Р влечет ортогональность

Действительно, а ортогональность уже установлена.

2. Произведение ортогональных матриц есть ортогональная матрица.

Действительно,

3. Единичная матрица ортогональна.

Действительно,

Эти свойства означают, что ортогональные матрицы образуют группу.

4. Определитель ортогональной матрицы равен ±1.

Действительно, откуда

Ортогональные матрицы разбиваются на два класса — собственно ортогональные с определителем 1, и несобственно ортогональные с определителем —1.

В дальнейшем мы увидим различие в геометрическом смысле собственно и несобственно ортогональных матриц.

Среди матриц с комплексными элементами существенную роль играют так называемые унитарные матрицы. Матрица А, комплексно сопряженная с транспонированной к А, называется сопряженной с А, т. е. где черточка наверху — комплексного сопряжения. Матрица Q называется унитарной, если обратная к ней совпадает с сопряженной. Записав равенство в развернутой форме, получим

Строка из комплексных чисел называется нормированной, если сумма квадратов модулей ее элементов равна 1. Две комплексные строки называются ортогональными, если сумма произведений элементов одной строки на числа, сопряженные с соответствующими элементами второй строки, равна 0.

Таким образом, равенство обозначает, что строки матрицы Q нормированны и попарно ортогональны. Равносильное равенство дает, что столбцы матрицы Q нормированны и попарно ортогональны.

Отметим свойства унитарных матриц, аналогичные свойствам ортогональных матриц.

1. Унитарность Q влечет унитарность .

Действительно, а унитарность Q следует из равенства

2. Произведение унитарных матриц есть унитарная матрица.

Действительно,

3. Единичная матрица унитарна.

Действительно,

Эти свойства означают, что унитарные матрицы образуют группу.

4. Модуль определителя унитарной матрицы равен 1.

Действительно,