§ 5. Линейные операторы в векторном пространстве

1. Матрица линейного оператора.

В настоящем и следующих параграфах будут рассматриваться линейные операторы, действующие из векторного пространства S в себя. Пусть — базис S. Тогда оператору соответствует матрица, составленная из столбцов координат векторов относительно базиса так что эта матрица квадратная. В отличие от ситуации, когда мы рассматривали линейные операторы действующие из пространства S в пространство Т, и мы имели возможность выбирать базисы в каждом из этих пространств, здесь свобода в выборе базиса меньше, мы можем выбирать базис лишь в самом пространстве S.

Матрицы преобразования координат В и С, независимо выбиравшиеся в ситуации § 4, здесь совпадают, так что формула для изменения матрицы при преобразовании координат принимает вид . Здесь А — матрица оператора М, отнесенная к исходному базису, С — матрица преобразования координат и А — матрица оператора в преобразованном базисе.

Таким образом, при преобразовании координат матрица линейного оператора претерпевает преобразование подобия.

Выше мы видели, что характеристический полином матрицы А не изменяется при преобразовании подобия. Следовательно, характеристический полином матрицы оператора зависит лишь от самого оператора и не зависит от выбора базиса пространства. Поэтому будем его называть характеристическим полиномом оператора.