§ 3. БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА

Базис векторного пространства.

Пусть — векторное пространство с основным множеством V. Если существует в V такое конечное множество векторов, что то говорят, что пространство порождается конечным множеством и это множество называется множеством (или системой) образующих пространства

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Векторное пространство назьюается конечномерным, если оно порождается конечным множеством векторов.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Базисом конечномерного векторного пространства называется непустая конечная линейно независимая система векторов, порождающая это пространство.

Пример. Пусть — арифметическое векторное пространство над полем Система единичных векторов

линейно независима и порождает пространство , т. е. . Следовательно, система векторов является базисом пространства

ТЕОРЕМА 3.1. Любое ненулевое конечномерное векторное пространство обладает базисом. При этом если система векторов

порождает векторное пространство , то базис системы векторов (1) является базисом пространства

Доказательство. Предположим, что пространство порождается системой векторов (1), т. е. мы можем считать, что векторы системы (1) ненулевые. По теореме 5.1, система (1) обладает базисом. Пусть

— базис системы (1). Тогда система (2) также порождает пространство , т. е. Кроме того, система (2) линейно независима. Следовательно, система базис системы (1) — является базисом пространства

ТЕОРЕМА 3.2. Пусть - конечномерное ненулевое векторное пространство. Тогда число элементов одного базиса пространства равно числу элементов любого другого базиса этого пространства.

Доказательство. По теореме 3.1, пространство обладает базисом. Пусть

— один базис пространства

— любой другой базис этого пространства. Тогда Поэтому системы векторов (1) и (2) эквивалентны. Кроме того, каждая из этих систем линейно независима. Следовательно, по теореме

СЛЕДСТВИЕ 3.3. Если базис векторного пространства состоит из элементов, то при любая система k векторов пространства линейно зависима.

Доказательство. Если — базис пространства и — любые векторы из V, то . По теореме 5.1, отсюда при следует, что система векторов линейно зависима.

СЛЕДСТВИЕ 3.4. Если базис векторного пространства состоит из векторов, то любая система векторов, порождающая пространство является базисом этого пространства.

ТЕОРЕМА 3.5. Любое подпространство конечномерного векторного пространства v является конечномерным. Если обладает базисом, состоящим из элементов, и U — ненулевое подпространство, то обладает базисом и число элементов его базиса меньше или равно .

Доказательство. Пусть — конечномерное векторное пространство и — его подпространство. Если — нулевое подпространство, то оно конечномерно. Предположим, что подпространство ненулевое. Тогда — ненулевое пространство и, по теореме 3.1, обладает базисом. Предположим, что базис пространства состоит из элементов. Тогда любая линейно независимая система векторов пространства содержит не более элементов.

Пусть их — ненулевой элемент пространства . Если то существует вектор причем система векторов линейно независима. Если то существует вектор причем система векторов линейно независима. Продолжая аналогичным образом, мы получим последовательность

линейно независимых элементов пространства . Эта последовательность содержит не более элементов. Следовательно, существует такое натуральное число что Таким образом, подпространство конечномерно и система векторов является его базисом.