Упражнения

1. Пусть поле классов вычетов по модулю 2. Сколько векторов содержит векторное пространство — -мерное арифметическое пространство над полем

2. Пусть — поле скаляров и - множество всех -матриц над полем Покажите, что алгебра

где есть операция сложения матриц и — операция умножения матриц на скаляр , есть векторное пространство над полем

3. Пусть — множество всех отображений множества R действительных чисел в множество С комплексных чисел, Покажите, что алгебра

Где есть операция сложения функций, -операция умножения функции на скаляр является векторным пространством над полем комплексных чисел.

4. Пусть есть множество всех отображений множества С комплексных чисел в множество R действительных чисел. Покажите, что алгебра

где + есть операция сложения функций и -операция умножений на скаляр , является векторным пространством над полем действительных чисел.

5. Пусть — поле действительных чисел и — поле рациональных чисел. Покажите, что алгебра

где есть обычная операция сложения действительных чисел и -обычная операция умножения на рациональное число является векторным пространством над полем

6. Пусть С — множество всех комплексных чисел и -множество всёх рациональных чисел. Покажите, что алгебра

где есть обычное сложение комплексных чисел и операций умножения на скаляр (на рациональное число ), есть векторное пространство над полем

7. Пусть V есть множество всех дважды дифференцируемых действительных функций удовлетворяющих дифференциальному уравнению Покажите, что алгебра

где есть операция сложения функций и сооперация умножения функции на скаляр (на действительное число), является векторным пространством над полем

8. Пусть V есть множество всех раз дифференцируемых действительных функций удовлетворяющих условию (дифференциальному уравнению)

где есть производная функции f и . Докажите, что алгебра где есть операция сложения функций — операция умножения на скаляр , является векторным пространством над полем

9. Покажите, что система, состоящая из одного вектора, линейно независима тогда и только тогда, когда вектор ненулевой.

10. Докажите, что система двух векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов получается из другого умножением на скаляр.

11. Покажите, что векторы двумерного арифметического векторного пространства линейно зависимы тогда и только тогда, когда

12,. Каким условиям должны удовлетворять скаляры , чтобы система векторов трехмерного арифметического векторного пространства над числовым полем 3 была линейно независимой?

13. Пусть векторное пространство над числовым полем Покажите, что если векторы а, b, с пространства V линейно независимы, то векторы а также линейно независимы. Верно ли это, если поле скаляров состоит из двух элементов?

14. Пусть есть -мерное арифметическое пространство над полем Покажите, что система векторов пространства V линейно независима тогда и только тогда, когда ранг -матрицы со строками равен .

15. Покажите, что система ненулевых векторов торного пространства V линейно независима тогда и только тогда, когда для всех .

16. Пусть — конечное поле, состоящее из элементов, и Сколько существует различных линейно независимых систем из k векторов пространства

17. Пусть — поле и А есть -матрица над Докажите, что при достаточно большом система матриц где — единичная -матрица, линейно зависима над полем

18. Пусть Докажите, что система векторов. линейно независима в пространстве тогда и только тогда, когда она линейно независима в пространстве

19. Пусть — конечное поле, состоящее из элементов. Сколько различных -мерных подпространств имеет векторное пространство