§ 4. КОЛЬЦО ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ

Аддитивная группа целых чисел.

Пусть — система натуральных чисел. Операция вычитания в не всегда выполнима, т. е. для данных натуральных чисел тип уравнение относительно не всегда имеет решение в N. Только в том случае, когда уравнение имеет решение в N, и притом единственное (по теореме 4.2.9); это решение называется разностью чисел и обозначается через .

Наша задача состоит в том, чтобы доказать существование такой аддитивной абелевой группы 2, которая удовлетворяет условиям:

(1) множество N содержится в сложение в группе продолжает сложение в

(2) операция вычитания в всегда выполнима и всякий элемент группы можно представить в виде разности натуральных чисел.

Такую группу мы назовем аддитивной группой целых чисел.

ТЕОРЕМА 4.1. Пусть — система натуральных чисел. Существует абелева группа удовлетворяющая условиям.

и сумма любых двух натуральных чисел тип в группе совпадает с суммой этих элементов в т. е.

(Р) для любого элемента а из 2 существуют такие натуральные числа , что

Доказательство. Рассмотрим множество NхN пар натуральных чисел. На нем определим бинарное отношение следующим образом:

Непосредственная проверка показывает, что отношение является отношением эквивалентности на множестве NxN.

На множестве NxN определим бинарную операцию (сложение) и унарную операцию 0 формулами

Сложение пар коммутативно и ассоциативно. Это непосредственно следует из коммутативности и ассоциативности сложения натуральных чисел.

Непосредственная проверка показывает, что эквивалентность является конгруэнцией относительно операций т. е. из

следует

и из следует

Обозначим через класс эквивалентности, содержащий пару . По теореме 3.1, операции (см. формулы (2) и индуцируют на фактор-множестве операции

В силу (1)

тогда и только тогда, когда .

Алгебра есть абелева группа. В самом деле, непосредственная проверка с помощью формул показывает, что сложение в коммутативно и ассоциативно. Элемент является нейтральным относительно сложения в так как ввиду .

Элемент противоположен элементу так как в силу

Это и означает, что алгебра является абелевой группой. Рассмотрим множество

Объединение множеств N и N обозначим через

Определим отображение h множества на Z следующим образом:

Легко видеть, что h является инъективным отображением множества на Z. Следовательно, существует обратное отображение инъективное отображение множества Z на удовлетворяющее условиям

где — тождественные отображения Z и соответственно.

Сложение в Z определим для любых а, b из Z формулой

а унарную операцию — определим формулой

Из формул (I) и (II) следуют формулы

Рассмотрим алгебру . В силу (III) и (IV) алгебра изоморфна абелевой группе Отсюда следует, что алгебра есть абелева группа. В самом деле, сложение в коммутативно, так как в силу (I) и коммутативности сложения в имеем

Сложение в ассоциативно, так как в силу (I) и (II) получаем

Натуральное число 0 является нейтральным элементом относительно сложения в так как для любого а из Z имеем

Для любого а из Z верно равенство поскольку

Следовательно, алгебра является абелевой группой.

Покажем, что выполняется условие (а). В самом деле, в силу (I) для любых из

т. e. сложение в продолжает сложение в

Покажем, что выполняется условие (). Пусть а — любой элемент из Z и тогда

Следовательно, всякий элемент из Z можно представить в виде разности натуральных чисел:

Итак, установлено, что алгебра является абелевой группой, удовлетворяющей условиям (а) и (Р).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Аддитивной группой целых чисел называется абелева группа удовлетворяющая условиям (а) и теоремы 4.1.