§ 4. НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ. НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ

Наибольший общий делитель.

Пусть — коммутативное кольцо. Элемент с называется общим, делителем элементов кольца , если с является делителем (в ) каждого из этих элементов.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Наибольшим общим делителем элементов кольца называется такой их общий делитель, который делится на любой общий делитель этих элементов.

Наибольший общий делитель элементов обозначается через

Из данного определения непосредственно вытекает следующее предложение.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.1. Если d наибольший общий делитель элементов в , то множество всех общих делителей элементов совпадает с множеством всех делителей элемента

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Элементы а и b кольца называются взаимно простыми, если единица (делитель единицы) кольца является их наибольшим общим делителем в .

Ниже рассматриваются свойства наибольшего общего делителя в кольце главных идеалов. Предложение 4.2 имеет место в любом коммутативном кольце.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.2. Любые два наибольших общих делителя элементов кольца ассоциированы в Если с есть наибольший общий делитель элементов и с ассоциировано с d, то d также является наибольшим общим делителем этих элементов.

Это свойство непосредственно следует из определения наибольшего общего делителя.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.3. Для любого набора элементов кольца главных идеалов существует наибольший общий делитель в Элемент d является наибольшим общим делителем элементов тогда и только тогда, когда

Доказательство. Предположим, что

и докажем, что d есть . Из условия (1) следует, что d есть общий делитель элементов и

Кроме того, в силу (2), если с есть общий делитель то с делит d. Следовательно, d есть

Предположим теперь, что d есть и докажем, что тогда Так как — кольцо главных идеалов, то существует в К такой элемент с, что По только что доказанному, с есть . В силу предложения 4.2 отсюда следует, что ассоциированы и, значит, по теореме . Следовательно, .

ТЕОРЕМА 4.4. Пусть d — общий делитель элементов кольца главных идеалов . Элемент d есть тогда и только тогда, когда его можно представить в виде где .

Доказательство. Пусть d есть . Тогда, по предложению Поэтому d можно представить в виде где .

Предположим теперь, что d можно представить в виде . Тогда любой общий делитель с элементов делит сумму , т. е. делит d.

Следовательно, d есть наибольший общий делитель элементов

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.5. Для любых элементов с кольца главных идеалов имеем

Доказательство. Пусть d есть .

По теореме 4.4, в К существуют элементы такие, что . Поэтому

Кроме того, так как d — общий делитель , то есть общий делитель Следовательно, по теореме является наибольшим общим делителем элементов

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.6. Если d — наибольший общий делитель элементов а и b в кольце главных идеалов то элементы — взаимно простые.

Доказательство. По условию, По теореме 4.4, отсюда следует, что для некоторых поэтому По теореме 4.4, отсюда следует, что 1 есть наибольший общий делитель элементов т. е. элементы — взаимно простые.

Очевидно, предложение 4.6 можно обобщить следующим образом: если d — наибольший общий делитель элементов в кольце главных идеалов то 1 есть наибольший общий делитель элементов

ТЕОРЕМА 4.7. Если в кольце главных идеалов а делит и элементы а, b — взаимно простые, то а делит с.

Доказательство. По условию, По теореме 4.4, отсюда следует, что для некоторых . Умножив обе части равенства на с, получим . Так как, по условию, а делит то а делит и, значит, а делит с.