Упражнения

1. Найдите собственные векторы и собственные значения следующих матриц над полем рациональных чисел:

2. Пусть — ненулевое действительное число. Покажите, что матрица не имеет действительных собственных значений.

3. Пусть — действительное число, отличное от нуля. Найдите собственные значения и собственные векторы над полем комплексных чисел матрицы

4. Найдите собственные векторы и собственные значения над полем комплексных чисел следующих матриц:

5. Пусть — - матрица над полем . Покажите, что скаляр есть собственное значение матрицы , когда

6. Докажите, что собственными значениями действительной симметрической матрицы являются действительные числа.

7. Пусть — квадратная матрица. Покажите, что транспонированная матрица М имеет те же собственные значения, что и матрица .

8. Покажите, что собственными значениями диагональной матрицы являются ее диагональные элементы.

9. Докажите, что собственными значениями треугольной матрицы являются ее диагональные элементы.

10. Докажите, что все собственные значения квадратной матрицы А отличны от нуля тогда и только тогда, когда матрица А обратима.

11. Пусть — квадратная матрица и k — любое целое положительное число. Докажите, что если -собственное значение матрицы , то является собственным значением матрицы

12. Зная собственные значения обратимой матрицы , найдите собственные значения матрицы

13. Пусть - собственное значение обратимой матрицы . Докажите, что является собственным значением матрицы для любого целого числа .

14. Пусть — квадратная матрица над полем

Докажите, что если -собственное значение матрицы , то является собственным значением матрицы Покажите, что любой собственный вектор матрицы является собственным вектором матрицы

15. Пусть А, Б — квадратные -матрицы над полем причем матрица А обратима. Докажите, что матрицы АВ и ВА имеют одно и то же характеристическое уравнение.

16. Найдите диагональную матрицу, подобную над полем рациональных чисел матрице:

17. Найдите диагональную матрицу, подобную над полем действительных чисел матрице:

18. Найдите диагональную матрицу, подобную над полем комплексных чисел матрице .

19. Пусть а — действительное число, не являющееся целым кратным числа . Докажите, что матрица не подобна действительной диагональной матрице.

20. Покажите, что любая действительная диагональная матрица, определитель которой отрицателен, подобна действительной диагональной матрице.

21. Пусть матрица над полем Докажите, что матрица А не подобна диагональной.

22. Докажите, что две диагональные матрицы подобны тогда и только тогда, когда они отличаются только порядком расположения диагональных элементов.

23. Пусть А — матрица, подобная диагональной матрице. Докажите, что матрица подобно диагональной для всякого целого положительного числа.

24. Найдите все квадратные матрицы второго порядка над полем с собственными значениями