Симметрические полиномы.

Пусть — кольцо полиномов от над коммутативным кольцом Пусть — множество подстановок степени .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Полином f из называется симметрическим полиномом от если для любой подстановки выполняется равенство

Пример. Полином переходит в себя при любой подстановке элементов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Элементарными симметрическими полиномами от назьшаются полиномы

Они возникают естественным образом при рассмотрении полинома который равен полиному

Таким образом,

Легко проверить, что множество всех симметрических полиномов кольца является подкольцом этого кольца; обозначим его через . С другой стороны, элементарные симметрические полиномы от порождают некоторое подкольцо обозначим его через . Легко видеть, что

Совпадают ли эти два кольца? Можно ли любой симметрический полином от представить в виде полинома от элементарных симметрических полиномов Ниже будет дан положительный ответ на этот вопрос.