§ 2. ПРОСТОЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ РАСШИРЕНИЕ ПОЛЯ

Простое расширение поля.

Пусть — кольцо полиномов от над полем где — подполе поля . Напомним,, что элемент а поля называется алгебраическим над полем , если а является корнем какого-нибудь полинома положительной степени из

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть в Простым расширением поля с помощью элемента а называется наименьшее подполе поля содержащее множество Р и элемент а. Простое расширение с помощью а обозначается через основное множество поля обозначается через Р (а).

Пусть — кольцо полиномов от и

есть множество всех выражений вида где и — любое натуральное число.

Легко видеть, что алгебра - подкольцо поля — является кольцом; это кольцо обозначается символом

ТЕОРЕМА 2.1. Пусть — кольцо полиномов от над (а) — простое расширение поля Пусть — отображение на такое, что а) для любого f из Тогда:

Доказательство. Утверждения (а) и непосредственно следуют из определения Отображение сохраняет главные операции кольца так как для любых f и g из

Далее, по условию, есть отображение на Следовательно, является гомоморфизмом кольца на кольцо

Утверждение непосредственно следует из определения отображения

Поскольку — гомоморфизм кольца на то, по теореме 13.1.6, фактор-кольцо изоморфно кольцу

СЛЕДСТВИЕ 2.2. Пусть а — трансцендентный элемент над полем Тогда кольцо полиномов изоморфно кольцу

Доказательство. В силу трансцендентности а над Поэтому, согласно теореме Кроме того, фактор-кольцо кольца по нулевому идеалу изоморфно Следовательно,

Минимальный полином алгебраического элемента.

Пусть — кольцо полиномов над полем

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть a — алгебраический элемент над полем Минимальным полиномом элемента а над Ф называется нормированный полином из наименьшей степени, корнем которого является а. Степень минимального полинома называется степенью элемента а над

Легко видеть, что для всякого элемента а, алгебраического над существует минимальный полином.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.3. Если а — алгебраический элемент над полем a g и — его минимальные полиномы над то

Доказательство. Степени минимальных полиномов g и совпадают. Если то элемент а (степени над ) будет корнем полинома степень которого меньше степени полинома (меньше ), что невозможно. Следовательно,

ТЕОРЕМА 2.4. Пусть а — алгебраический элемент степени над полем и g — его минимальный полином над Тогда.

Доказательство. Допустим, что полином g приводим в кольце т. е. существуют в такие полиномы и h, что

Тогда Так как — поле, то или что невозможно, поскольку, по условию, степень элемента а над равна .

Предположим, что По условию, Следовательно, f и g не могут быть взаимно простыми. Поскольку полином g неприводим, то g делит

Пусть — гомоморфизм кольца на кольцо для всякого f из рассмотренный в теореме 2.1. В силу ядро гомоморфизма состоит из кратных полинома g, т. е. Следовательно, по теореме 13.1.6, фактор-кольцо изоморфно кольцу

Поскольку , то есть область целостности. Так как то фактор-кольцо также есть область целостности. Нам надо показать, что любой ненулевой элемент f из обратим в . Пусть f — элемент смежного класса Так как то ; поэтому полином g не делит полином f.

Поскольку полином g неприводим, отсюда следует, что полиномы — взаимно простые. Следовательно, в существуют такие полиномы и и а, что Отсюда вытекает равенство , показывающее, что элемент f обратим в кольце. Итак, установлено, что фактор-кольцо является полем.

В силу является полем и поэтому Кроме того, очевидно, . Значит, Следовательно, кольцо совпадает с полем

Строение простого алгебраического расширения поля.

ТЕОРЕМА 2.5. Пусть а — алгебраический над полем элемент положительной степени . Тогда любой элемент поля однозначно представим в виде линейной комбинации элементов с коэффициентами из Р.

Доказательство. Пусть Р — любой элемент поля По теореме следовательно, существует в полином f такой, что

Пусть g — минимальный полином для а над в силу условия теоремы его степень равна . По теореме о делении с остатком, существуют в полиномы такие, что

Полагая в и учитывая равенство (1), имеем

Покажем, что элемент Р однозначно представим в виде линейной комбинации элементов Пусть

— любое такое представление. Рассмотрим полином

Случай, когда степень меньше , невозможен, так как в силу (3) и и степень меньше степени g. Возможен лишь случай, когда Следовательно, элемент однозначно представим в виде линейной комбинации элементов

Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби.

Задача об освобождении от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби состоит в следующем. Пусть — алгебраический элемент степени над полем f и h — полиномы из кольца полиномов Требуется представить элемент в виде линейной комбинации степеней элемента а, т. е. в виде где

Эта задача решается следующим образом. Пусть g — минимальный полином для а над . Так как, по теореме 2.4, полином неприводим над то g не делит h и, значит, полиномы h и g — взаимно простые. Поэтому существуют в такие полиномы и , что

Поскольку из (1) следует, что

Следовательно, причем . Итак, мы освободились от иррациональности в знаменателе дроби

Упражнения

1. Найдите минимальный полином для а над полем если:

2. Освободитесь от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби

3. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби