Упражнения

1. Пусть Найдите для любого положительного целого .

2. Докажите, что если для матриц А и B произведения АВ и BA существуют и то матрицы А и -квадратные и имеют одинаковый порядок.

3. Пусть А, В — квадратные матрицы одинакового порядка и Докажите, что для любого целого положительного числа справедлива формула

4. Покажите, что операция транспонирования обладает следующими свойствами:

, где — скаляр; если произведение ABC существует.

5. Квадратная матрица А называется симметрической, если Покажите, что если А—квадратная матрица, то матрица является симметрической.

6. Квадратная матрица А называется кососимметрической, если Докажите, что любую квадратную матрицу можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы симметрической и кососимметрической матриц.

7. Докажите, что элементарные преобразования над столбцами матрицы осуществляются посредством умножения матрицы справа на соответствующие элементарные матрицы.