Конгруэнция.

Пусть R — отношение эквивалентности на множестве А и Т — бинарная операция на А.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Отношение эквивалентности R называется конгруэнцией относительно операции Т. если для любых элементов а, b, с, d множества А из следует

ТЕОРЕМА 1.9. Пусть Т — бинарная операция на множестве А и R — конгруэнция относительно Тогда равенство

где определяет бинарную операцию Т на фактор-множестве .

Доказательство. Бинарное отношение "Г состоит из пар вида

Надо доказать, что Т — функция. Пусть

Надо показать, что из равенства

следует Из (3) следуют равенства и соотношения

Так как — конгруэнция относительно то из (4) следует:

Следовательно, отношение Т является бинарной операцией на фактор-множестве

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Бинарная операция определенная на фактор-множестве равенством (1), называется операцией, ассоциированной с операцией Т посредством конгруэнции